Question

[Đặng Hoài An]

Bài 1: Có bao nhiêu cách viết phân số \(\dfrac{1}{5}\) dưới dạng tổng của hai phân số \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) với 0 < a < b?

Bài 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số sao cho tỉ số giữa số đó với tổng các chữ số của nó là lớn nhất.

Bài 3: Có thể tìm được hai chữ số a và b sao cho phân số \(\dfrac{a}{b}\) bằng số thập phân a,b hay không?

Bài 4: Một công nhân có thể hoàn thành công việc được giao trong 3 giờ 20 phút. Một công nhân khác có thể hoàn thành công việc đó trong 4 giờ 10 phút. Nếu cùng làm, cả hai làm được 72 sản phẩm. Hỏi mỗi người làm bao nhiêu sản phẩm?

Bài 5: Cho hai điểm M và N nằm cùng phía đối với A, nằm cùng phía đối với B. Điểm M nằm giữa A và B. Biết AB = 5cm ; AM = 3cm ; BN = 1cm. Chứng tỏ rằng:

a, Bốn điểm A , B , M , N thẳng hàng.

b, Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng MB.

c, Vẽ đường tròn tâm N đi qua B và đường tròn tâm A đi qua N, chúng cắt nhau tại C. Tính chu vi của tam giác CAN

Answer 1

[Hoang Hung Quan]

Bài 1: Giải:

Ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{5}\Leftrightarrow a>5\left(1\right)\)

Ta lại có:

\(0< a< b\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)

Hay \(\dfrac{2}{a}>\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow\dfrac{2}{a}>\dfrac{2}{10}\Leftrightarrow a< 10\left(2\right)\)

Kết hợp \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow a\in\left\{6;7;8;9\right\}\)

Xét từng trường hợp chỉ có:

\(a=6\Leftrightarrow\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{30}\Leftrightarrow b=30\) là thỏa mãn

Vậy chỉ có một cách viết duy nhất là \(\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{30}\)

Bài 2: Giải:

Gọi số tự nhiên hai chữ số có tỉ số giữa số đó với tổng các chữ số của nó là lớn nhất là \(\dfrac{\overline{ab}}{a+b}\)

Đặt \(k=\dfrac{\overline{ab}}{a+b}.\) Ta có:

\(k=\dfrac{\overline{ab}}{a+b}=\dfrac{10a+b}{a+b}\ge\dfrac{10a+10b}{a+b}=10\)

\(\Leftrightarrow k=10\Leftrightarrow b=10b\Leftrightarrow b=0\)

Vậy \(k_{\text{lớn nhất}}=10\) ứng với các số \(10;20;30;...;90\)

Bài 3: Giải:

Giả sử ta tìm được hai chữ số \(a\) và \(b\) sao cho \(\dfrac{a}{b}=a,b\)

Rõ ràng ta thấy: \(a,b>a\left(b\ne0\right)\)

Ta có: \(\dfrac{a}{b}=a.\dfrac{1}{b}\) Mà \(\dfrac{1}{b}\le1\) nên \(a.\dfrac{1}{b}\le a\)

Hay \(\dfrac{a}{b}\le a\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}< a,b\)

Vậy không tìm được hai chữ số \(a,b\) thỏa mãn đề bài.