Cho \(n\in Z\). Chứng minh: \(n^3.\left(n^2-7\right)^2-36n⋮105\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 12 2018
B1) Từ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Rightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=0\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=0\)
Ta có \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=x^2+y^2+z^2+2.0\)
\(=x^2+y^2+z^2\left(đpcm\right)\)
B2) \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Vì \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\\\left(b-c\right)^2\ge0\forall b;c\\\left(c-a\right)^2\ge0\forall c;a\end{cases}\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c\left(đpcm\right)}\)
8 tháng 12 2018
\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right).2=\left(ab+bc+ca\right).2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\\\left(b-c\right)^2\ge0\forall b,c\\\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,c\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
Mà \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)thì \(a=b=c\)
KN
3
3 tháng 2 2022
\(=n\cdot\left[n^2\left(n^2-7\right)^2-36\right]\)
\(=n\left[\left(n^3-7n\right)^2-36\right]\)
\(=n\left(n^3-7n-6\right)\left(n^3-7n+6\right)\)
\(=n\left(n^3-n-6n-6\right)\left(n^3-n-6n+6\right)\)
\(=n\left[n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-6\left(n+1\right)\right]\left[n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-6\left(n-1\right)\right]\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+2\right)\cdot\left(n-1\right)\left(n+3\right)\left(n-2\right)\)
Vì đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp
nên \(A⋮7!=5040\)
hay \(A⋮105\)
HN
1
16 tháng 11 2022
Vì đây là 7 số nguyên liên tiếp
nên A chia hết cho 7!
=>A chia hết cho 5040
=>A chia hết cho 210
TN
6 tháng 6 2017
a,\(5n^3+15n^2+10n=5n\left(n^2+3n^2+2\right)=5n\left(n^2+n+2n+2\right)=5n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)Nhận thấy 5n(n+1)(n+2)\(⋮5\) vì \(5⋮5\) (1)
và \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\) vì n(n+1)(n+2) là ba số tự nhiên liên tiếp (2)
Từ (1)và(2)\(\Rightarrow5n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮30\Rightarrowđpcm\)
b, \(n^3\left(n^2-7\right)-36n\)
\(=n\left[\left(n^2\right)\left(n^2-7\right)^2-36\right]\)
\(=n\left[\left(n^3-7n\right)^2-36\right]\)
\(=n\left(n^3-7n-6\right)\left(n^3-7n+6\right)\)
\(=\left(n-3\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)⋮3,5,7\Rightarrow⋮105\Rightarrowđpcm\)
NH
1
30 tháng 1 2017
M=n^3(n^2−7)^2−36n
n[n^2(n^2−7)^2−36]
= n.[(n^3−7n)^2−6^2]
= n(n^3−7n−6)(n^3−7n+6)
=(n−3)(x−2)(n−1)n(n+1)(n+2)(n+3)
M luôn chia hết cho 2;3;5. Các số này đôi 1 nguyên tố cùng nhau => B chia hết cho 105
KH
1
HT
0
Đặt \(n^3\left(n^2-7\right)^2-36n=A\)
Ta có :
\(n^3\left(n^2-7\right)^2-36n\)
\(=n\left[n^2\left(n^2-7\right)^2-36\right]\)
\(=n.\left[\left(n^3-7n\right)^2-6^2\right]\)
\(=n\left(n^3-7n-6\right)\left(n^3-7n+6\right)\)
\(=\left(n-3\right)\left(n-2\right)\left(n-2\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)
Ta có \(A⋮3;5;7\) ( vì có \(\left(n-3\right)\left(n-2\right)\left(n-2\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\) là 7 số tự nhiên liên tiếp )
Mà 3; 5; 7 là đôi một nguyen tố cùng nhau
\(\Rightarrow A⋮3.5.7\Rightarrow A⋮105\)
Very easy!!! Bạn chỉ cần phân tích đa thức thành nhân tử là ok
Ta có: n3.(n2-7)2 -36n = \(n^3.\left(n^4-14n^2+49\right)-36n\)
= \(n^7-14n^5+49n^3-36n\)
= \(n^7+12n^5+36n^3-25n^5-n^5-12n^3-36n+25n^3\)
= \(n^3\left(n^4+12n^2+36-25n^2\right)-n\left(n^4+12n^2+36-25n^2\right)\)
= \(\left(n^3-n\right)\left(n^4+12n^2+36-25n^2\right)\)
= \(n\left(n^1-1\right)\left[\left(n^4+12n^2+36\right)-25n^2\right]\)
= \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left[\left(n^2+6\right)^2-\left(5n\right)^2\right]\)
= \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-5n+6\right)\left(n^2+5n+6\right)\)
= \(n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\) (*)
Mà (*) là tích của số nguyên liên tiếp => (*) \(⋮\) 7! ( Đây là tính chất nhé)
=> (*) \(⋮\) 5040 => (*) \(⋮\) 105 => đpcm
P/s : Bạn có thể xét tính chẳn lẻ của n cũng đc nhưng lâu hơn