Cho x+y=4;xy=-1 Tính d=1/x2+1/y2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
5 tháng 11 2016
Ta chứng minh \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]\ge0\)(luôn đúng)
Áp dụng vào bài toán ta có:
\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4\right)\ge x^4+y^4+x^3y+xy^3\)\(=\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\).Tương tự ta cũng có:
\(\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}\ge\frac{y+z}{2};\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{z+x}{2}\)
Cộng theo vế ta có: \(VT\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z=1\)
Dấu = khi \(x=y=z=\frac{2008}{3}\)
\(D=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{2xy}\right)-\frac{1}{2xy}\)
\(=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2-\frac{2}{xy}=\left(\frac{x+y}{xy}\right)^2-\frac{2}{xy}=\left(\frac{4}{-1}\right)^2-\frac{2}{-1}=18\)
\(d=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}=\frac{\left(x+y\right)^2-2xy}{\left(xy\right)^2}\)
\(=\frac{4^2-2.\left(-1\right)}{\left(-1\right)^2}==\frac{16+2}{1}=18\)