Cho a,b,c dương và tổng a, b, c là 3 .
Tìm MinA = \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{a+7b}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{b+7c}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{c+7a}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
31 tháng 12 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow A\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}}}\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}\le\frac{8\left(a+b+c\right)}{3}=8\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}}\ge\frac{1}{8}\)
\(\Rightarrow3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{3}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow A\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow A_{min}=\frac{3}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 11 2018
Bạn viết đề sai, nếu VT là \(\sum\dfrac{1}{\sqrt{7a^2-12ab+b^2}}\) thì vế phải là \(\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)
VT là \(\sum\dfrac{1}{\sqrt{7a^2-13ab+7b^2}}\) thì VP mới là 3 được
Từ \(ab+bc+ac=3abc\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\) (chia 2 vế cho abc)
Ta có \(\dfrac{1}{\sqrt{7\left(a^2+b^2\right)-12ab}}\le\dfrac{1}{\sqrt{14ab-12ab}}=\dfrac{1}{\sqrt{2ab}}\)
Tương tự\(\dfrac{1}{\sqrt{7b^2-12bc+7c^2}}\le\dfrac{1}{\sqrt{2bc}}\) ; \(\dfrac{1}{\sqrt{7a^2-12ac+7c^2}}\le\dfrac{1}{\sqrt{2ac}}\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ac}}\right)\le\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 4 2022
Đề bài sai
Đề đúng: \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\le\dfrac{1}{2}\)
RH
15 tháng 1 2022
Áp dụng BĐT Bunyakovsky, ta có:
\(a+b+c\le\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt{3.3}=3\)
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(A=\sum{\dfrac{1}{\sqrt{1+8a^3}}}=\sum{\dfrac{1}{\sqrt{(2a+1)(4a^2-2a+1)}}} \\\ge\sum{\dfrac{1}{\dfrac{4a^2+2}{2}}}=\sum{\dfrac{1}{2a^2+1}} \)
Ta cần chứng minh: \(\dfrac{1}{2a^2+1}\ge\dfrac{-4}{9}a+\dfrac{7}{9} \\<=>\dfrac{8a^3-14a^2+4a+2}{9(2a^2+1)}\ge0 \\<=>\dfrac{2(a-1)^2(4a+1)}{9(2a^2+1)}\ge0 (luôn\ đúng\ với\ mọi\ a>0) \\->\sum{\dfrac{1}{2a^2+1}}\ge\dfrac{-4}{9}(a+b+c)+\dfrac{21}{9}\ge\dfrac{-4}{9}.3+\dfrac{21}{9}=1 \\->A\ge1 \)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Vậy GTNN của A là 1 (khi a = b = c = 1).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 4 2021
Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x^2;y^2;z^2\right)\) với \(x;y;z>0\Rightarrow xyz=1\)
Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P
Ta có: \(P=\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}+\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}+\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}\)
\(P=\dfrac{1}{\left(x^2+y^2\right)+\left(y^2+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(y^2+z^2\right)+\left(z^2+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(z^2+x^2\right)+\left(x^2+1\right)+2}\)
\(P\le\dfrac{1}{2xy+2y+2}+\dfrac{1}{2yz+2z+2}+\dfrac{1}{2zx+2x+2}\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy+y+1}+\dfrac{1}{yz+z+1}+\dfrac{1}{zx+x+1}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy+y+1}+\dfrac{xyz}{yz+z+xyz}+\dfrac{y}{xyz+xy+y}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy+y+1}+\dfrac{xy}{y+1+xy}+\dfrac{y}{1+xy+y}\right)=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
UK
4 tháng 12 2017
Đặt vế trái là T, ta có:
\(\dfrac{a}{\sqrt{b+1}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}.\sqrt{b+1}}\ge\dfrac{a\sqrt{2}}{\dfrac{b+1+2}{2}}=\dfrac{a.2\sqrt{2}}{b+3}\)
Tương tự: \(\dfrac{b}{\sqrt{c+1}}\ge\dfrac{b.2\sqrt{2}}{c+3}\)
\(\dfrac{c}{\sqrt{a+1}}\ge\dfrac{c.2\sqrt{2}}{a+3}\)
Cộng vế theo vế các BĐT vừa chứng minh, ta được
\(T\ge2\sqrt{2}\left(\dfrac{a}{b+3}+\dfrac{b}{c+3}+\dfrac{c}{a+3}\right)=2\sqrt{2}\left(\dfrac{a^2}{ab+3a}+\dfrac{b^2}{bc+3b}+\dfrac{c^2}{ac+3c}\right)\)
\(T\ge2\sqrt{2}.\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca+3\left(a+b+c\right)}\)
\(T\ge2\sqrt{2}.\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+3\left(a+b+c\right)}\)
\(T\ge2\sqrt{2}.\dfrac{3^2}{\dfrac{3^2}{3}+9}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
UK
4 tháng 12 2017
b) Đặt vế trái là N,ta có:
\(\sum\sqrt{\dfrac{a^3}{b+3}}=\sum\sqrt{\dfrac{a^4}{ab+3}}=\sum\dfrac{a^2}{\sqrt{ab+3}}=\sum\dfrac{2a^2}{\sqrt{4a\left(b+3\right)}}\ge\sum\dfrac{2a^2}{\dfrac{4a+b+3}{2}}=\sum\dfrac{4a^2}{4a+b+3}\)
\(\sum\dfrac{4a^2}{4a+b+3}\ge\dfrac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{4a+b+3+4b+c+3+4c+a+3}=\dfrac{3}{2}\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
Áp dụng BĐT Côsi-Shaw ta có :
\(A=\dfrac{1}{\sqrt[3]{a+7b}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{b+7c}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{c+7a}}\ge\dfrac{9}{\sqrt[3]{a+7b}+\sqrt[3]{b+7c}+\sqrt[3]{c+7a}}\)
Đặt \(B=\sqrt[3]{a+7b}+\sqrt[3]{b+7c}+\sqrt[3]{c+7a}\)
Ta sẽ có : \(\dfrac{9}{B}\)
Mà : \(\dfrac{9}{B}\) đạt GTNN khi B lớn nhất .
Áp dụng BĐT Cô si , ta có :
\(\sqrt[3]{\left(a+7b\right).8.8}\le\dfrac{a+7b+8+8}{3}\) ( 1 )
Tương tự , ta có :
\(\sqrt[3]{\left(b+7c\right).8.8}\le\dfrac{b+7c+8+8}{3}\left(2\right)\)
\(\sqrt[3]{\left(c+7a\right).8.8}\le\dfrac{c+7a+8+8}{3}\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế của \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) ta có :
\(4.\left(\sqrt[3]{a+7b}+\sqrt[3]{b+7c}+\sqrt[3]{c+7a}\right)\le\dfrac{8}{3}\left(a+b+c\right)+16\)
\(\Leftrightarrow4B\le24\)
\(\Leftrightarrow B\le6\)
Vậy \(Max_B=6\) \(\Leftrightarrow Min_A=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1.\)
Sai thôi nha
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow A\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}}}\) (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}\le\dfrac{8\left(a+b+c\right)}{3}=8\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}}\ge\dfrac{1}{8}\)
\(\Rightarrow3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}}}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{3}{2}\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow A_{min}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)