Cho \(a^2+b^2=2\) và \(\left(a-d\right)\left(b-c\right)=1\). Chứng minh \(c^2+d^2-2ad-2bc-2ab\ge-2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
Cho \(a^2+b^2=2\) và \(\left(a-d\right)\left(b-c\right)=1\). Chứng minh \(c^2+d^2-2ad-2bc-2ab\ge-2\)
0
3 tháng 4 2020
\(1,VT=2\left(a^3+b^3+c^3\right)+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
Ta có \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right)\)
\(c^3+a^3\ge ca\left(c+a\right)\)
Cộng từng vế các bđt trên ta được
\(VT\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
Bây giờ ta cm:
\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Bất đẳng thức trên luôn đúng
Vậy bđt được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
T
2
ta có:
\(VT+4=\left(a^2-2ad+d^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ab+b^2\right)=\left(a-d\right)^2+\left(b-d\right)^2+\left(a-b\right)^2\)theo AM-GM:\(\left(a-d\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge2\left(a-d\right)\left(b-c\right)=2\)
và \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
do đó \(VT+4\ge2\Leftrightarrow VT\ge2\)
Dấu = xảy ra khi a=b=1;c=d=0 ...