Question

[Nguyễn Anh Kim Hân]

Ta ký hiệu : (a,b) là ước chung lớn nhất của a và b ; [a, b] là bội chung nhỏ nhất của a và b .

Hãy tìm hai số tự nhiên a và b sao cho : a + 2b = 49 và [a,b] + (a,b) = 56

Answer 1

[Hoàng Hà Nhi]

Gọi (a;b) = d (\(d\in N\))

Ta có: \(a+2b=49\)

Vì \(a⋮d\) và \(b⋮d\) nên suy ra \(a+2b⋮d\)

\(\Rightarrow49⋮d\left(1\right)\)

Lại có: \(\left[a;b\right]+\left(a;b\right)=\left[a;b\right]+d=56\)

Vì \(a⋮d;b⋮d\) \(\Rightarrow\left[a;b\right]⋮d\)

\(\Rightarrow\left[a;b\right]+d⋮d\)

\(\Rightarrow56⋮d\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) ta suy ra \(d\inƯC\left(49;56\right)\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1;7\right\}\) (Vì d là số tự nhiên)

+) Với d = 1 thì \(\left[a;b\right]+1=56\)

\(\Rightarrow\left[a;b\right]=55\)

\(\Rightarrow a.b=55\)

Ta có bảng sau:

a	1	55	5	11
b	55	1	11	5

Thử các giá trị trên vào a + 2b = 49 đều không thỏa mãn.(loại d = 1)

+) Với d = 7 \(\Rightarrow ab=7.\left[a;b\right]\)

\(\Rightarrow a=7m;b=7n\left(m;n\in N\right)\) \(\left(m;n\right)=1\)

\(\Rightarrow mn=7\)

+) Nếu m = 1; n = 7 thì a = 7; b = 49 (loại)

+) Nếu m = 7; n = 49 thì a = 49; b = 7 (loại)

\(\Rightarrow\) Loại trường hợp d = 7

Vậy không có số tự nhiên a và b nào thỏa mãn đề bài.