Question

[Nguyễn Dương Huy]

Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm P, Q tương ứng trên AC và BC sao cho PQ // AB. Gọi M là trung điểm của PB, N là giao điểm các đường trung trực của tam giác CPQ. Chứng minh: AMN = 90.

Answer 1

[Nguyễn Dương Huy]

Gọi K là giao điểm của AM và PQ.

(Giờ ta chứng minh hai ý: Tứ giác APKB là hình bình hành và AN = NK).

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta KMP\), ta có:

\(\widehat{AMB}=\widehat{KMP}\) (đối đỉnh).

BM = MP (M là trung điểm của PB).

\(\widehat{ABM}=\widehat{KPM}\) (Vì PQ // AB).

Do đó: \(\Delta AMB=\Delta KMP\left(g.c.g\right)\).

=> AM = MK.

Xét tứ giác APKB, ta có:

\(AM=MK=\dfrac{1}{2}AK\left(cmt\right)\)

\(BM=MP=\dfrac{1}{2}PB\left(gt\right)\)

Do đó: Tứ giác APKB là hình bình hành. (Xong 1 ý!!!).

Ta có:

\(\widehat{KBQ}=\widehat{ACB}\) ( Vì tứ giác APKB là hình bình hành).

\(\widehat{KQB}=\widehat{PQC}\) (đối đỉnh).

\(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\) (Tam giác ABC cân tại A).

\(\widehat{PQC}=\widehat{ABC}\) (PQ // AB).

Do đó: \(\widehat{KBQ}=\widehat{KQB}\)

=> \(\Delta BKQ\) cân tại K => KB = KQ.

Vì tứ giác APKB là hình bình hành (cmt) nên AP = KB.

Vậy KQ = AP.

Ta có: \(\widehat{APN}+\widehat{NPC}=180^o\left(1\right)\)

\(\widehat{NQK}+\widehat{NQP}=180^o\left(2\right)\)

Lại có: \(\widehat{PQC}=\widehat{PCQ}\left(=\widehat{ABC}\right)\)=> \(\Delta PQC\) cân tại P.

Do đó: PN là đường trung trực của \(\Delta PQC\).

Khi đó: PN là phân giác của \(\widehat{QPC}\) => \(\widehat{NPQ}=\widehat{NPC}\)

Lại có: \(\widehat{NPQ}=\widehat{NQP}\) (N là giao điểm các đường trung trực của \(\Delta CPQ\)).

Do đó: \(\widehat{NQP}=\widehat{NPC}\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3) => \(\widehat{APN}=\widehat{NQK}\)

Xét \(\Delta APN\) và \(\Delta KQN\), ta có:

AP = KQ (cmt).

\(\widehat{APN}=\widehat{KQN}\left(cmt\right)\).

NP = NQ (N là giao điểm các đường trung trực của \(\Delta CPQ\)).

Do đó: \(\Delta APN=\Delta KQN\left(c.g.c\right)\)

=> AN = NK => \(\Delta ANK\) cân tại N.

Lại có: MN là trung tuyến của \(\Delta ANK\left(AM=MK\right)\)(cmt)

Vậy MN là đường cao của \(\Delta ANK\)

Do đó: \(\widehat{AMN}=90^o\left(đpcm\right).\)