Question

[Ngô Đức Tài]

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a,b,c sao cho abc<ab+bc+ca.

Answer 1

[Hoang Hung Quan]

Giải:

Không mất tính tổng quát, ta giả sử: \(2\le c\le b\le a\left(1\right)\)

Từ \(abc< ab+bc+ca\) chia hai vế cho \(abc\) ta được:

\(1< \dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) ta có:

\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\le\dfrac{3}{c}\) nên \(1< \dfrac{3}{c}\Rightarrow c< 3\Rightarrow c=2\)

Thay \(c=2\) vào \(\left(2\right)\) ta có:

\(\dfrac{1}{2}< \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\le\dfrac{2}{b}\Rightarrow b\le4\)

Vì \(b\) là số nguyên tố nên \(\left[{}\begin{matrix}b=2\\b=3\end{matrix}\right.\)

Với \(b=2\Rightarrow\dfrac{1}{2}< \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{1}{a}>0\) đúng với mọi số nguyên tố \(a\)

Với \(b=3\Rightarrow\dfrac{1}{2}< \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{3}\Rightarrow\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{6}\Rightarrow a< 6\)

Mà \(a\) là số nguyên tố nên \(\left[{}\begin{matrix}a=3\\a=5\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(a;b;c\right)=\left(5;3;2\right);\left(3;3;2\right);\left(a;2;2\right)\) với \(a\) là số nguyên tố bất kỳ