Question

[.]

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho a.b.c<a.b+b.c+c.a.

Answer 1

[《 ღ Ňɠʉүêŋ ➻ Ňɠʉүêŋ ღ 》]

Giả sử  \(2\le c\le b\le a\)   (1)

Từ abc < ab + bc + ca chia 2 vế cho abc ta được :

\(1< \frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\)   (2)

Từ (1) ta có :

\(\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\le\frac{3}{c}\)  nên   \(1< \frac{3}{c}\Rightarrow c< 3\Rightarrow c=2\)

Thay c = 2 vào (2) ta có :

\(\frac{1}{2}< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le\frac{2}{b}\Rightarrow b\le4\)

Vì b là số nguyên tố nên \(\orbr{\begin{cases}b=2\\b=3\end{cases}}\)

Với \(b=2\Rightarrow\frac{1}{2}< \frac{1}{a}+\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{a}>0\) đúng với mọi số nguyên tố a 

Với  \(b=3\Rightarrow\frac{1}{2}< \frac{1}{a}+\frac{1}{3}\Rightarrow\frac{1}{a}>\frac{1}{6}\Rightarrow a< 6\)

Mà a là số nguyên tố nên \(\orbr{\begin{cases}a=3\\a=5\end{cases}}\)

Vậy ( a ; b ; c ) = ( 5 ; 3 ; 2 ) ; ( 3 ; 3 ; 2 ) ; ( a ; 2 ; 2 ) với a là số nguyên tố bất kì

Answer 2

[Nguyễn Linh Chi]

KHông mất tính tổng quát: g/s: \(a\ge b\ge c\)

=> \(ab+bc+ac\le ab+ba+ab=3ab\)

Theo đề bài: \(abc< ab+bc+ac\)

=> \(abc< 3ab\Leftrightarrow c< 3\)

mà c là số nguyên tố => c = 2

=> \(2ab< ab+2b+2a\)

=> \(ab< 2\left(a+b\right)\)mặt khác \(a\ge b\)

=> \(ab< 2\left(a+a\right)\Leftrightarrow ab< 4a\Leftrightarrow b< 4\)

Ta có b là số nguyên tố => b = 2 hoặc b = 3

Với b = 2 => \(4a< 2a+4+2a\)=> 0 < 4 luôn đúng với mọi a

Với b = 3 => \(6a< 3a+6+2a\)=> a < 6 . Vì a là số nguyên tố  lớn hơn  hoặc bằng b =>  a = 3 hoặc a = 5

Vậy có các bộ số : ( a; 2; 2) với a nguyên tố bất kì; ( 3; 3; 2) ; ( 5; 3; 2) Và các hoán vị