Cho \(a,b,c,d>0\). Chứng minh \(1< \dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}< 2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 3 2023
Cho \(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{ab}{cd}\) với ( với a, b, c, d khác 0, và c \(\ne\pm d\) ). Chứng minh rằng hoặc \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) hoặc \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{d}{c}\) ?
D
26 tháng 1 2022
:)
- Ta có: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\) (gt)
=>\(ad< bc\)
=>\(ad+ab< bc+ab\)
=>\(a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)
=>\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\) (1)
- Ta có: \(\dfrac{c}{d}>\dfrac{a}{b}\) (gt)
=>\(bc>ad\)
=>\(bc+cd>ad+cd\)
=>\(c\left(b+d\right)>d\left(a+c\right)\)
=>\(\dfrac{c}{d}>\dfrac{a+c}{b+d}\) (2)
- Từ (1) và (2) suy ra: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\)
27 tháng 3 2018
\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+c}\)
\(\Leftrightarrow a\left(b+c\right)< b\left(a+c\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+ac< ba+bc\)
\(\Leftrightarrow ac< bc\)
\(\Leftrightarrow a< b\)(đúng)
a)Áp dụng
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{a+c}{a+b+c}+\dfrac{b+a}{a+b+c}+\dfrac{c+b}{a+b+c}=2\left(1\right)\)
Lại có:\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}>\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+a}+\dfrac{c}{c+a+b}=1\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)=> đpcm
TV
27 tháng 3 2018
Vì \(\dfrac{a}{b}< 1\Rightarrow a< b\Rightarrow ac< bc\Rightarrow ac+ab< bc+ab\Rightarrow a\left(b+c\right)< b\left(a+c\right)\Rightarrow\dfrac{a\left(b+c\right)}{b\left(b+c\right)}< \dfrac{b\left(a+c\right)}{b\left(b+c\right)}\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+c}\)a) ta có
\(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+c}< \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{a+c}{a+b+c}+\dfrac{a+b}{a+b+c}+\dfrac{b+c}{a+b+c}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b+c}{a+b+c}< \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow1< \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< 2\)
7 tháng 3 2023
Theo đề bài ta có :
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
Đặt \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=k\) ( 1 )
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(k=\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{c+d}\)
\(k^2=\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^2=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\) ( 2 )
Mà từ ( 1 ) = > \(k^2=\dfrac{a}{c}.\dfrac{b}{d}=\dfrac{ab}{cd}\) ( 3 )
Từ ( 2 ) , ( 3 )
= > \(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\) ( đpcm )
8 tháng 12 2021
\(a,\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}\\ b,\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Leftrightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-b}{c-d}\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}\)
Lớp 8:Thì cái này hiển đúng: \(\dfrac{a}{a+k}>\dfrac{a}{a+p}\forall a,p>k>0\)
\(A>\dfrac{a}{a+b+c+d}+\dfrac{b}{a+b+c+d}+\dfrac{c}{a+b+c+d}+\dfrac{d}{a+b+c+d}=\dfrac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)
Vậy: \(A>1\)
Tương tự:
\(A< \dfrac{a+d}{a+b+c+d}+\dfrac{b+a}{a+b+c+d}+\dfrac{c+b}{a+b+c+d}+\dfrac{d+c}{a+b+c+d}=\dfrac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\)
Vậy: A<2
Kết luận: \(1< A< 2\)
p/s: bài giải này chỉ đúng với lớp 8; nếu lớp 6 bài giải này chưa đúng.