Question

[Đoàn Thị Thu Hương]

Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

a, \(x^2+3^y=3026\)

b, \(1+x+x^2+x^3=2^y\)

Answer 1

[Thầy Giáo Toán]

a) Đầu tiên ta thấy nếu  \(y<0\)  thì \(3^y\) không phải là số nguyên. Suy ra \(x^2-3026=-3^y\) cũng không phải số nguyên, vô lí vì \(x\)  là số nguyên. Suy ra \(y\ge0\).  

Nếu \(y=0\to x^2=3026\to\) loại vì \(3026\)  không phải là số chính phương.
Nếu \(y\ge1\to3026-x^2\vdots3\to2-x^2\vdots3\to x^2-2\vdots3\)  mâu thuẫn vì một số chính phương chia cho 3 không có dư là 2. 
Vậy phương trình vô nghiệm nguyên.

b,  Đầu tiên ta thấy nếu \(y<0\to2^y\)  không phải là số nguyên. Do đó \(1+x+x^2+x^3\)  cũng không là số nguyên, mâu thuẫn vì theo giả thiết \(x,y\in Z.\)

Xét \(y\ge0.\)  Với \(y=0\to1+x+x^2+x^3=1\to x\left(1+x+x^2\right)=0\to x=0.\)  Vậy ta có nghiệm \(\left(0,0\right).\)

Với \(y=1\to1+x+x^2+x^3=2\to x\left(1+x+x^2\right)=2\to2\vdots x\to x=\pm1,\pm2.\)  Vì \(x+x^2=x\left(x+1\right)\)  là số chẵn nên \(1+x+x^2\)  là số lẻ, suy ra \(x=\pm2.\)    Thử lại không thoả mãn.

Với \(y=2\to1+x+x^2+x^3=4\to x^3+x^2+x-3=0\to\left(x-1\right)\left(x^2+2x+3\right)=0\to x=1.\)

Vậy ta có một nghiệm nguyên nữa là \(\left(1,2\right).\)

Với \(y\ge3\to1+x+x^2+x^3=2^y\to\left(1+x\right)\left(1+x^2\right)=2^y\to1+x^2=2^a\)  với \(a\) là số tự nhiên. Khi \(a=0\to x=0\to y=1\to\) loại. Xét \(a>0\to x\) lẻ \(\to1+x^2\) chia cho \(4\) dư \(2\). (Vì một số chính phương lẻ chia 4 dư 1). Vậy \(2^a\) chia cho \(4\) dư \(2\).  Suy ra \(a=1\to x^2+1=2\to x=1\to2^y=4\to y=2\to\) loại vì \(y\ge3.\)

Tóm lại phương trình chỉ có 2 nghiệm nguyên như trên là \(\left(x,y\right)=\left(0,0\right),\left(1,2\right).\)