Question

[Lan Hương]

Tìm tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)=\(x^3-mx+18\) trên đoạn [1;3]  không lớn hơn 2.

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(f'\left(x\right)=3x^2-m=0\Rightarrow x^2=\dfrac{m}{3}\)

TH1: \(m\le0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R \(\Rightarrow\min\limits_{\left[1;3\right]}f\left(x\right)=f\left(1\right)=19-m\)

\(\Rightarrow19-m\le2\Rightarrow m\ge17\) (ktm)

TH2: \(m\in\left[3;27\right]\)

\(\Rightarrow x=\sqrt{\dfrac{m}{3}}\in\left[1;3\right]\) là nghiệm lớn hơn \(\Rightarrow\) luôn là điểm cực tiểu

\(\Rightarrow\min\limits_{\left[1;3\right]}f\left(x\right)=f\left(\sqrt{\dfrac{m}{3}}\right)=\dfrac{m}{3}\sqrt{\dfrac{m}{3}}-m\sqrt{\dfrac{m}{3}}+18=-\dfrac{2m}{3}\sqrt{\dfrac{m}{3}}+18\)

\(\Rightarrow-\dfrac{2m}{3}\sqrt{\dfrac{m}{3}}+18\le2\Rightarrow m\ge12\)

\(\Rightarrow12\le m\le27\)

TH3: \(0< m< 3\Rightarrow\sqrt{\dfrac{m}{3}}< 1\Rightarrow\) hàm đồng biến trên \(\left[1;3\right]\) quay về TH1 (ktm)

TH4: \(m>27\Rightarrow\left[1;3\right]\subset\left(-\sqrt{\dfrac{m}{3}};\sqrt{\dfrac{m}{3}}\right)\Rightarrow\) hàm nghịch biến trên \(\left[1;3\right]\)

\(\Rightarrow\min\limits_{\left[1;3\right]}f\left(x\right)=f\left(3\right)=45-3m\le2\Rightarrow m\ge\dfrac{43}{3}\)

\(\Rightarrow m>27\)

Vậy \(m\ge12\)