Các bạn giải giúp mình với. Tks nhìu lun.
Cho a,b,c > 0 và a+b+c = 3.
Chứng minh: \(\frac{a}{a+2bc}+\frac{b}{b+2ca}+\frac{c}{c+2ab}\ge1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
6 tháng 3 2019
Đặt \(P=\frac{a}{a+2bc}+\frac{b}{b+2ca}+\frac{c}{c+2ab}\)
\(\Leftrightarrow P=\frac{a^2}{a^2+2bca}+\frac{b^2}{b^2+2cab}+\frac{c^2}{c^2+2abc}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có: ( link c/m Cauchy-schwarz: Xem câu hỏi )
\(P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6abc}=\frac{9}{a^2+b^2+c^2+6abc}\)( \(a+b+c=3\))
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Ta có: \(a+b+c=3\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\Leftrightarrow3\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\Leftrightarrow1\ge\sqrt[3]{abc}\)
\(\Leftrightarrow1\ge abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2c^2\ge a^3b^3c^3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(ab+bc+ca\ge3.\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\ge3.\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{9}{9}=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
đpcm
LQ
2
TN
7 tháng 10 2016
Ta áp dụng Bđt Cauchy ngược dấu
\(T=\frac{1}{2ab^2+1}+\frac{1}{2bc^2+1}+\frac{1}{2ca^2+1}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b}{2ab^2+1}+\frac{b^2c}{2bc^2+1}+\frac{c^2a}{2ca^2+1}\le1\)
\(\frac{ab^2}{2ab^2+1}\le\frac{ab^2}{3\sqrt[3]{ab^2\cdot ab^2\cdot1}}\)\(\le\frac{\sqrt[3]{ab^2}}{3}\le\frac{a+2b}{9}\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\frac{b^2c}{2bc^2+1}\le\frac{b+2c}{9}\left(2\right);\frac{c^2a}{2ca^2+1}\le\frac{c+2a}{9}\left(3\right)\)
Cộng theo vế của (1),(2) và (3) ta có:
\(T\le\frac{a+b+c+2c+2a+2b}{9}\)\(=\frac{3\left(a+b+c\right)}{9}=\frac{a+b+c}{3}=1\)
Dấu = khi a=b=c=1
NM
4
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 7 2019
Lời giải:
Ta thấy:
\(\text{VT}=\frac{c^2}{2ab^2c^2+c^2}+\frac{a^2}{2bc^2a^2+a^2}+\frac{b^2}{2ca^2b^2+b^2}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\text{VT}(2ab^2c^2+c^2+2bc^2a^2+a^2+2ca^2b^2+b^2)\geq (c+a+b)^2\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2abc(ab+bc+ac)+a^2+b^2+c^2}(*)\)
Áp dụng BĐT Am-GM:
\(3=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq 1\)
\(\Rightarrow 2abc(ab+bc+ac)\leq 2(ab+bc+ac)\)
\(\Rightarrow \frac{(a+b+c)^2}{2abc(ab+bc+ac)+a^2+b^2+c^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)+a^2+b^2+c^2}=1(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow \text{VT}\geq 1\)
Ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 7 2019
Cách khác bằng AM-GM:
\(\text{VT}=3-\left(\frac{2ab^2}{2ab^2+1}+\frac{2bc^2}{2bc^2+1}+\frac{2ca^2}{2ca^2+1}\right)(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{2ab^2}{2ab^2+1}+\frac{2bc^2}{2bc^2+1}+\frac{2ca^2}{2ca^2+1}=\frac{2ab^2}{ab^2+ab^2+1}+\frac{2bc^2}{bc^2+bc^2+1}+\frac{2ca^2}{ca^2+ca^2+1}\)
\(\leq \frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{a^2b^4}}+\frac{2bc^2}{3\sqrt[3]{b^2c^4}}+\frac{2ca^2}{3\sqrt[3]{c^2a^4}}=\frac{2}{3}(\sqrt[3]{ab^2}+\sqrt[3]{bc^2}+\sqrt[3]{ca^2})\)
\(\leq \frac{2}{3}\left(\frac{a+b+b}{3}+\frac{b+c+c}{3}+\frac{c+a+a}{3}\right)=\frac{2}{3}(a+b+c)=2(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \text{VT}\geq 3-2=1\) (đpcm)
DP
1
27 tháng 11 2019
Cách : AM - GM :
\(VT=3-\left(\frac{2ab^2}{2ab^2+1}+\frac{2bc^2}{2bc^2+1}+\frac{2ca^2}{2ca^2+1}\right)\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT AM - GM :
\(\frac{2ab^2}{2ab^2+1}+\frac{2bc^2}{2bc^2+1}+\frac{2ca^2}{2ca^2+1}=\frac{2ab^2}{ab^2+ab^2+1}+\frac{2bc^2}{bc^2+bc^2+1}+\frac{2ca^2}{ca^2+ca^2+1}\)
\(\le\frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{a^2b^4}}+\frac{2bc^2}{3\sqrt[3]{b^2c^4}}+\frac{2ca^2}{3\sqrt[3]{c^aa^4}}=\frac{2}{3}\left(\sqrt[3]{ab^2}+\sqrt[3]{bc^2}+\sqrt[3]{ca^2}\right)\)
\(\le\frac{2}{3}\left(\frac{a+b+b}{3}+\frac{b+c+c}{3}+\frac{c+a+a}{3}\right)=\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)=2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow VT\ge3-2=1\left(đpcm\right)\)
KN
17 tháng 4 2020
\(\Rightarrow\frac{1}{2ab^2+1}\ge1-\frac{2}{9}\left(a+2b\right)\)
Tương tự ta có: \(\frac{1}{2bc^2+1}\ge1-\frac{2}{9}\left(b+2c\right)\); \(\frac{1}{2ca^2+1}\ge1-\frac{2}{9}\left(c+2a\right)\)
Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên, ta được:
\(\text{∑}_{cyc}\frac{1}{2ab^2+1}\ge3-\frac{2}{9}.3\left(a+b+c\right)=1\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = \(\frac{1}{3}\)
11 tháng 1 2017
Bài 1:
Đk:\(x\ge\frac{1}{2}\)
Đặt \(\sqrt{2x-1}=t\Rightarrow2x=t^2+1\)
\(pt\Leftrightarrow\left(t^2+1\right)^2-8\left(t^2+4\right)t=7-22\left(t^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow t^4-8t^3+24t^2-32t+16=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-2\right)^4=0\Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow\sqrt{2x-1}=2\)
\(\Leftrightarrow2x-1=4\Leftrightarrow2x=5\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}\) (thỏa mãn)
Bài 2:
Cộng 2 vế với \(7x^2+23x+12\) ta được:
\(\left(x+2\right)^3+\left(x+2\right)=\left(7x^2+23x+12\right)+\sqrt[3]{7x^2+23x+12}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^3=7x^2+23x+12\)
\(\Leftrightarrow x^3+6x^2+12x+8=7x^2+23x+12\)
\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x^2+3x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x=4\\x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)
5 tháng 3 2021
a) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có ngay :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2\sqrt{\frac{ab^2c}{ac}}=2\sqrt{b^2}=2\left|b\right|=2b\)( do b > 0 )
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
b) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2b\)(1) ( như a) đấy :)) )
tương tự : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\)(2) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\)(3)
Cộng (1), (2), (3) theo vế ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
c) \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\)
\(=\frac{a^3}{2ab}+\frac{b^3}{2ab}+\frac{b^3}{2bc}+\frac{c^3}{2bc}+\frac{c^3}{2ca}+\frac{a^3}{2ca}\)
\(=\frac{a^2}{2b}+\frac{b^2}{2a}+\frac{b^2}{2c}+\frac{c^2}{2b}+\frac{c^2}{2a}+\frac{a^2}{2c}\)(I)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\left(I\right)\ge\frac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2}{2b+2a+2c+2b+2a+2c}=\frac{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}=a+b+c\)
hay \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge a+b+c\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\left [ \frac{a}{a+2bc}+\frac{b}{b+2ac}+\frac{c}{c+2ab} \right ][a(a+2bc)+b(b+2ac)+c(c+2ab)]\geq (a+b+c)^2=9\) Ta cần CM \(a(a+2bc)+b(b+2ac)+c(c+2ab)\leq 9\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+6abc\leq 9\)
Thật vậy, áp dụng BĐT Am-Gm ta có:
\(3(ab+bc+ac)=(a+b+c)(ab+bc+ac)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=9abc\)
\(\Rightarrow 6abc\leq 2(ab+bc+ac)\Rightarrow a^2+b^2+c^2+6abc\leq (a+b+c)^2=9\)
Từ $(1)$ và $(2)$ \(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2+6abc}\geq \frac{9}{9}=1 (\text{đpcm})\)
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$