K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

10 tháng 12 2016

\(VP=\left(x+y+z\right)^2-x^2-y^2-z^2\)

\(=x^2+2xy+2xz+y^2+2yz+z^2-x^2-y^2-z^2\)

\(=2xy+2yz+2xz=2\left(xy+yz+xz\right)=VP\)

Suy ra điều phải chứng minh

 

 

10 tháng 8 2017

Hình như sai đề

11 tháng 8 2017

thế ề như nào bạn

22 tháng 9 2016

Có: \(\left(x+y+z\right)^2-x^2-y^2-z^2\) 

\(=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz-x^2-y^2-z^2\)

\(=2xy+2yz+2xz\)

\(=2\left(xy+yz+xz\right)\)


 

22 tháng 9 2016

\(\left[\left(x+y\right)+z\right]^2=\left[\left(x+y\right)^2+2.\left(x+y\right)z+z^2\right]=x^2+2xy+y^2+2xz+2yz+z^2\)\(+z^2\)

Thay vào: x^2+y^2+z^2+ 2xy+2yz+2xz - x^2 - y^2 - z^2= 2(xy+yz+xz) (đpcm)

21 tháng 5 2020

Ta có: 

\(x^3+y^3+z^3-3xyz\)

\(=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz\)

\(=\left[\left(x+y\right)^3+z^3\right]-\left[3xy\left(x+y\right)+3xyz\right]\)

\(=\left(x+y+z\right)^3-3\left(x+y+z\right)\left(x+y\right).z-3xy\left(x+y+z\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yx-3xz-3yz-3xy\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)

=> \(x^3+y^3+z^3=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)+3xyz\)

27 tháng 3 2016

Từ đề bài suy ra:\(x^2+y^2+z^2-2xy+2xz-2yz\ge0\)

\(\left(x-y\right)^2+\left(x+z\right)^2+\left(y-z\right)^2\ge0\)

Đẳng thức này đúng với mọi số x,y,z

Vậy \(x^2+y^2+z^2\ge2\left(xy-xz+yz\right)\) (đpcm)

28 tháng 3 2016

x,y,z phải là các cạnh trong tam giác chơ

NV
14 tháng 3 2020

\(VT=\frac{\left(yz\right)^2}{x^2yz\left(y+z\right)}+\frac{\left(xz\right)^2}{zxy^2\left(x+z\right)}+\frac{\left(xy\right)^2}{xyz^2\left(x+y\right)}\)

\(VT=\frac{2\left(yz\right)^2}{xy+zx}+\frac{2\left(xz\right)^2}{xy+yz}+\frac{2\left(xy\right)^2}{xz+yz}\ge\frac{2\left(yz+xz+xy\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=xy+yz+zx\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)

7 tháng 10 2018

phân tích vế phải bằng vế trái

7 tháng 10 2018

Bạn xem đề kĩ lại nhé

21 tháng 1 2017

Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 bộ số không âm

\(\Rightarrow\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(xz+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz\left(xy+1\right)^2\left(yz+1\right)^2\left(xz+1\right)^2}{x^2y^2z^2\left(yz+1\right)\left(xz+1\right)\left(xy+1\right)}}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(xz+1\right)}{xyz}}\)

Xét \(3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(xz+1\right)}{xyz}}\)

\(=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy+1}{x}\right)\left(\frac{yz+1}{y}\right)\left(\frac{xz+1}{z}\right)}\)

\(=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)

Áp dụng BĐT Cô - si

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}y+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{\frac{y}{x}}\\z+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{z}{y}}\\x+\frac{1}{z}\ge2\sqrt{\frac{x}{z}}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)\ge8\)

\(\Rightarrow3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\ge3\sqrt[3]{8}\)

\(\Rightarrow3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\ge6\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(xz+1\right)}{xyz}}\ge6\)

\(\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(xz+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(xz+1\right)}{xyz}}\)

\(\Rightarrow\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(xz+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\ge6\)

Vậy GTNN của \(\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(xz+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}=6\)

13 tháng 11 2019

Giúp mình với các bạn