Question

[phan thị minh anh]

Tìm số tự nhiên n sao cho \(A=n^2+n+6\) là số chính phương

Answer 1

[Nguyễn Quốc Anh]

Đặt \(n^2+n+6=m^2\left(m\in N\right)\Rightarrow4n^2+4n+24=4m^2\)

\(\Rightarrow\left(4n^2+1\right)^2+24=4m^2\Leftrightarrow4m^2-\left(4n^2+1\right)^2=24\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+2n+1\right)\left(2m-2n-1\right)=24\)

Xét thấy 2m+2n+1>2m-2n-1>0 và chúng là những số lẻ , nên ta có thể viết 

\(\Leftrightarrow\left(2m+2n+1\right)\left(2m-2n-1\right)=1.24=2.12=6.4=3.8\)

Suy ra n có thể có giá trị sau:2:

Answer 2

[Nguyễn Quốc Anh]

Đặt \(n^2+n+6=m^2\left(m\in N\right)\Rightarrow4n^2+4n+24=4m^2\)

\(\Rightarrow\left(2n\right)^2+2.2.n+1+23=4m^2\Leftrightarrow\left(4n^2+1\right)^2+23=4m^2\)

\(4m^2-\left(4n^2+1\right)^2=23\Leftrightarrow\left(2m+2n+1\right)\left(2m-2n-1\right)=23\)

Xét thấy 2m+2n+1>2m-2n-1>0 và chúng là những số lẻ nên ta có thể viết 

\(\Leftrightarrow\left(2m+2n+1\right)\left(2m-2n-1\right)=1.23\)

Suy ra n có thể có giá trị là 5