Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Vẽ đường cao AD, BE. Gọi H là trực tâm tam giác ABC.a) Cmr: tan B . tan C = \(\frac{AD}{HD}\)b) Cm: DH.DA \(\le\) \(\frac{BC^2}{4}\)c) Gọi a,b,c lần lượt là độ dài BC, CA, AB của \(\Delta ABC\). Cmr:...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Vẽ đường cao AD, BE. Gọi H là trực tâm tam giác ABC.
a) Cmr: tan B . tan C = \(\frac{AD}{HD}\)
b) Cm: DH.DA \(\le\) \(\frac{BC^2}{4}\)
c) Gọi a,b,c lần lượt là độ dài BC, CA, AB của \(\Delta ABC\). Cmr: sin \(\frac{A}{2}\) = \(\frac{a}{2\sqrt{bc}}\)
a) Xét tam giác vuông \(\Delta ABD\to\tan B=\frac{AD}{BD}.\)
Xét tam giác vuông \(\Delta ACD\to\tan C=\frac{AD}{CD}.\)
Vậy \(\tan B\cdot\tan C=\frac{AD}{BD}\cdot\frac{AD}{CD}=\frac{AD^2}{BD\cdot CD}.\)
Mặt khác \(\Delta DHB\sim\Delta DCA\) (g.g), ta suy ra \(\frac{DH}{DB}=\frac{DC}{DA}\to DB\cdot DC=DH\cdot DA.\) Thành thử
\(\tan B\cdot\tan C=\frac{AD^2}{BD\cdot CD}=\frac{AD^2}{DH\cdot DA}=\frac{AD}{HD}.\)
b. Theo chứng minh trên \(DH\cdot DA=DB\cdot DC\le\left(\frac{DB+DC}{2}\right)^2=\frac{BC^2}{4}.\)
c. Đề bài không đúng, đề nghị tác giả xem lại đề!