Question

[Đỗ Nguyễn Bảo Anh]

Cho m;n thuộc N thỏa mãn:

24m⁴ + 1 = n²

CMR: m.n chia hết cho 5
 

Answer 1

[soyeon_Tiểubàng giải]

Ta có:

24m⁴ + 1 = n²

25m⁴ - (m⁴ - 1) = n²

+ Nếu m chia hết cho 5 thì m.n chia hết cho 5 (đpcm)

+ Nếu m thuộc N; không chia hết cho 5, ta luôn chứng minh được m⁵ - m chia hết cho 5.

Thật vậy, với m không chia hết cho 4 thì m⁴ chỉ có thể tận cùng là 1 hoặc 6 chia 5 dư 1

=> m⁵ và m cùng dư trong phép chia cho 5

=> m⁵ - m luôn chia hết cho 5 với m thuộc N; m không chia hết cho 5

=> m.(m⁴ - 1) chia hết cho 5

Mà (m;5)=1 => m⁴ - 1 chia hết cho 5

Kết hợp với 25m⁴ chia hết cho 5 => n² chia hết cho 5

=> n chia hết cho 5 => m.n chia hết cho 5

Vậy m.n chia hết cho 5 (đpcm)