cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A, AB=a, BC=2a. Hình chiếu của B' lên (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp H của tam giác ABC, góc giữa (CC',(ABB') bằng 60 độ. Tính V lăng trụ và góc giữa (HB',(ABB')
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tam giác ABC vuông tại A, ta tính được AC:
\(AC^2=BC^2-AB^2=25a^2-9a^2=16a^2\Rightarrow AC-4a\)
Trong mặt phẳng (SAC), qua S kẻ SH vuông góc với AC, H thuộc ACTa có:\(SH=SA.sin30^0=2a\sqrt{3}.\frac{1}{2}=a\sqrt{3}\)\(AH=SA.cos30^0=2a\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}=3a\)Thể tích khối chóp S.ABC: \(V_{S.ABC}=\frac{1}{2}.SH.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.\frac{1}{2}.3a.4a=2\sqrt{3}a\)Trong mặt phẳng đáy (ABC), qua H kẻ HK vuông góc với BC và cắt BC tại KTam giác HKC đồng dạng với tam giác BAC, ta được:\(\frac{HK}{AB}=\frac{HC}{BC}=\frac{a}{5a}=\frac{1}{5}\rightarrow HK=\frac{1}{5}AB=\frac{1}{5}.3a=\frac{3}{5}a\)Nối SK. Trong mặt phẳng (SHK), từ H kẻ HI vuông góc với SKTa chứng minh được HI vuông góc với mặt phẳng (SBC):Ta có:\(\begin{cases}HK\perp BC\\BC\perp SH\end{cases}\Rightarrow BC\perp\left(SHK\right)\Rightarrow BC\perp HI\)mặt khác: BC_|_HI (1)
HI_|_SK(2)từ (1) (2)=> HI_|_(SBC)Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (ABC) là HIXác định khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC)Suy ra khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) được tính theo:
Gọi M là trung điểm BC: BC = 2a; AG = 2 3 AI = 2 a 3 ; A ' A G ^ = 60 o .
Suy ra: A ' G = A G tan 60 o = 2 a 3 3
Ta có: V = S A B C . A ' G = 1 2 AB.AC.A'G
= 1 2 a. a 3 . 2 a 3 3 = a 3
Vậy V 3 + V a 3 - 1 = a
Đáp án B
Chọn B.
Gọi M,G lần lượt là trung điểm của BC và trọng tâm G của tam giác ABC.
Do tam giác ABC đều cạnh a nên
Trong mặt phẳng (AA'M) kẻ MH ⊥ AA'. Khi đó:
Vậy MH là đoạn vuông góc chung của AA' và BC nên MH = a 3 4 .
Trong tam giác AA'G kẻ
Xét tam giác AA'G vuông tại G ta có:
Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là
Giả sử (O,R) là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC
=> A'O _|_(ABC)
=> V(ABC.A'B'C') = A'O.S(ABC)
*S(ABC) = (AB.AC.sin120)/2 = 4a^2
Lại có ^A'AO = 30o là góc tạo bở cạnh bên và mặt đáy
=> A'O = OA.tan 30 = R.√3/3
Mặt khác áp dụng định lý sin tg ABC
=> AB/sin ^BCA =2R
=> R = AB/2sin^BCA = 4a
=> A'O = 4a√3/3
=> V(ABC.A'B'C') = 4a√3/3. 4a^2 = (16√3a^3)/3
* Giả sử OA cắt BC tại M
Do tg ABC cân => AM _|_BC, mà BC _|_A'O
=> BC _|_(A'OM) -----------(*)
Từ M kẻ MN _|_AA' , Do (*) => BC _|_MN
=> MN là đường vuông góc chung AA' và BC
Do A'AO = 30 => MN = AM.sin 30 = AM/2
mà AM = AB.sin^ABC = AB.sin30 = AB/2 = 2a
=> MN =a
đây là hình chiếu kẻ từ B' mà