Question

[Nguyễn Đức]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x+y+z-1=0  và hai điểm A(1;-3;0),B(5;-1;-2).Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho \(\left|MA-MB\right|\) đạt giá trị lớn nhất.

Answer 1

[Hồng Trinh]

a) Gọi H là trung điểm của  BC thì H là hình chiếu vuông góc của  B trên mp(P)

mp(P)  có vecto pháp tuyến  \(\overrightarrow{n}\)=(1;1;1). Nếu gọi  Δ là đường thẳng  qua B và vuông góc với (P) thì Δ có phương  trình tham số  là: \(\begin{cases}x=5+t\\y=-1+t\\z=-2+t\end{cases}\) (t\(\in R\) )

Tọa độ H ứng với t là nghiệm đúng của phương trình : \(\left(5+t\right)+\left(-1+t\right)+\left(-2+t\right)+1=0\Leftrightarrow t=-1\)

Suy ra \(H\left(4;-2;-3\right)\) và \(\begin{cases}x_C=4.2-5=3\\y_c=-2.2+1=-3\\z_C=-3.2+2=-4\end{cases}\) Vậy \(C\left(3;-3;-4\right)\)

 

Gọi \(f\left(M\right)=x+y+z-1\) Với \(M\left(x;y;z\right);A\left(1;-3;0\right);B\left(5;-1;-2\right)\)

Ta có : \(f\left(A\right)=-3< 0;f\left(B\right)=1>0\) \(\Rightarrow\) A;B nằm khác phía đối với mp(P)

Do đó 2 điểm B,C đối xứng nhau qua mp(P) nên M là 1 điểm bất kì trên mp(P) ta luôn có \(MB=MC\)

Ta có: \(\left|MA-MB\right|=\left|MA-MC\right|\le AC\) 

Đẳng thức xảy ra khi 3 điểm A,C,M thẳng hàng và điểm M nằm ngoài AC. Khi đó M trùng với M_o là giao điểm của đường thẳng AC với mp(P). đường thẳng AC có VTCP \(\overrightarrow{u}=\left(2;0;-4\right)\) PTTS AC : \(\begin{cases}x=1+2t\\y=-1\\z=-4t\end{cases}\)

Tọa độ M_o ứng với t là nghiệm đúng của pt: \(\left(1+2t\right)-1-4t-1=0\Leftrightarrow t=\frac{-1}{2}\) 

Suy ra \(M_o\left(0;-1;2\right)\)

Vậy max \(\left|MA-MB\right|=AC=2\sqrt{5}\) khi M ở vị trí M_o (0;-1;2)