Giải bất phương trình
\(A_n^3\) +2 \(C_n^{n-2}\)\(\le\) 9n (1)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 11 2023
Xét câu A, hiển nhiên khi \(n\rightarrow+\infty\) thì \(a_n=\sqrt{n^3+n}\rightarrow+\infty\) nên dãy (an) không bị chặn.
Ở câu C, lấy n chẵn và cho \(n\rightarrow+\infty\) thì dãy (cn) cũng sẽ tiến tới \(+\infty\). Do đó dãy (cn) cũng là 1 dãy không bị chặn.
Ở câu B, ta xét hàm số \(f\left(x\right)=x^2+\dfrac{1}{x}\) trên \(\left[1;+\infty\right]\), ta thấy \(f'\left(x\right)=2x-\dfrac{1}{x^2}\) \(=\dfrac{2x^3-1}{x^2}\) \(=\dfrac{x^3+x^3-1}{x^2}>0,\forall x\ge1\) . Do đó \(f\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left[1;+\infty\right]\) và do đó cũng đồng biến trên \(ℕ^∗\). Nói cách khác, (bn) là dãy tăng . Như vậy, nếu bn bị chặn thì tồn tại giới hạn hữu hạn. Giả sử \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}b_n=L>1\). Chuyển qua giới hạn, ta được \(L=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left(n^2+\dfrac{1}{n}\right)=+\infty\), vô lí. Vậy (bn) không bị chặn trên.
Còn lại câu D. Ta thấy với \(n\inℕ^∗\) thì hiển nhiên \(d_n>0\). Ta thấy \(d_n=\dfrac{3n}{n^3+2}=\dfrac{3n}{n^3+1+1}\le\dfrac{3n}{3\sqrt[3]{n^3.1.1}}=1\), với mọi \(n\inℕ^∗\). Vậy, (dn) bị chặn
\(\Rightarrow\) Chọn D.
TT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 12 2022
ĐK: \(n\ge3\)
\(n!+\dfrac{n!}{2}-\dfrac{n!}{\left(n-3\right)!.2}=5n^2+26n+684\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}n!=\dfrac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{2}+5n^2+26n+684\)
\(\Leftrightarrow3.n!-n^3-7n^2-54n-1368=0\) (1)
- Với \(n=\left\{3;4;5\right\}\) không thỏa mãn
- Với \(n=6\) thỏa mãn
- Với \(n>6\), ta có:
\(3.n!>3.n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n-4\right)\left(n-5\right)>3n\left(n-1\right)\left(n-2\right).3.2.1\)
\(\Rightarrow3.n!>18n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\)
\(\Rightarrow3.n!-n^3-7n^2-54n-1368>18n\left(n-1\right)\left(n-2\right)-n^3-7n^2-54n-1368\)
\(=\left(n-6\right)\left(17n^2+41n+228\right)>0\)
\(\Rightarrow\) (1) vô nghiệm
Vậy \(n=6\) là giá trị duy nhất thỏa mãn
LC
1
25 tháng 4 2016
Giải:
Điều kiện là n\(\ge\)2, n\(\in\)Z
Ta có
(1) \(\Leftrightarrow\)\(\frac{\left(n+2\right)!}{\left(n-1\right)!3!}\)+\(\frac{\left(n+2\right)!}{n!2!}\)>\(\frac{5}{2}\)\(\frac{n!}{\left(n-2\right)!}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}\)+\(\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}\)>\(\frac{5\left(n-1\right)n}{2}\)
\(\Leftrightarrow\)n(n2+3n+2) + 3(n2+3n+2) > 15(n2-n)
\(\Leftrightarrow\)n3-9n2+26n+6>0
\(\Leftrightarrow\)n(n2-9n+26)+6>0 (1)
Xét tam thứ bậc hai n2-9n+26, ta thấy \(\Delta\)=81-104<0
Vậy n2-9n+26>0 với mọi n. Từ đó suy ra với mọi n\(\ge\)2 thì (1) luôn luôn đúng. Tóm lại mọi số nguyên n\(\ge\)2 đều là nghiệm của (1).
HY
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 3 2022
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+2x-3\ge0\\2x^2-3x+1\ge0\\x^2+2x-3\le2x^2-3x+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x\ge1\\x\le-3\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}x\ge1\\x\le\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\\x^2-5x+4\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x\ge1\\x\le-3\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}x\ge4\\x\le1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x\le-3\\x\ge4\end{matrix}\right.\)
25 tháng 4 2016
Điều kiện là n\(\ge\)5, n\(\in\)Z
Ta có
\(\Leftrightarrow\) \(C_{n+1}^5\) = 3\(C_{n+1}^6\) (áp dụng công thức \(C_{n+1}^k\) = \(C_n^k\) + \(C_n^{k-1}\))
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n-4\right)!5!}\) = 3\(\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n-5\right)!6!}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{\left(n-4\right)!5!}\) = \(\frac{3}{\left(n-5\right)!6!}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{n-4}\) = \(\frac{3}{6}\)
\(\Leftrightarrow\) 3n - 12 = 6
\(\Leftrightarrow\) n = 6
Rõ ràng n = 6 thỏa mãn điều kiện n\(\ge\) 5, n \(\in\) Z. Vậy nghiệm duy nhất của chương trình đã cho là n = 6.
QT
Quoc Tran Anh Le
Giáo viên
22 tháng 9 2023
Ta có:
\({a_1} = 0;{a_2} = 1;{a_3} = 2;{a_4} = 3;{a_5} = 4\).
\({b_1} = 2.1 = 2;{b_2} = 2.2 = 4;{b_3} = 2.3 = 6;{b_4} = 2.4 = 8\).
\({c_1} = 1;{c_2} = {c_1} + 1 = 1 + 1 = 2;{c_3} = {c_2} + 1 = 2 + 1 = 3;{c_4} = {c_3} + 1 = 3 + 1 = 4\).
+ Chu vi đường tròn có bán kính \(n\) là \({d_n} = 2\pi n\).
Ta có: \({d_1} = 2\pi .1 = 2\pi ;{d_2} = 2\pi .2 = 4\pi ;{d_3} = 2\pi .3 = 6\pi ;{d_4} = 2\pi .4 = 8\pi \).
Điều kiện để (1) có nghĩa là
\(\begin{cases}n\ge3\\n-2\ge0\\n\in Z\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}n\ge3\\n\in Z\end{cases}\)
Ta thấy (1) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{n!}{\left(n-3\right)!}\) + 2\(\frac{n!}{\left(n-2\right)!2!}\) \(\le\) 9n
\(\Leftrightarrow\) (n-2)(n-1)n +(n-1)n \(\le\) 9n (2)
Do n\(\ge\)3 (tức n>0) nên
(2) \(\Leftrightarrow\) (n-2)(n-1) + n-1 \(\le\) 9
\(\Leftrightarrow\) \(n^2\) - 2n - 8 \(\le\) 0
\(\Leftrightarrow\) -2 \(\le\) n \(\le\) 4 (3)
Đối chiếu vơi điều kiện, từ (3) suy ra n=3, n=4
Vậy (1) có hai nghiệm là n=3, n=4.