Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Lấy E đối xứng với P qua N .a/ Chứng minh: Tứ giác AECP là hình thoi.b/ Cho MH cắt đường thẳng AE tại F.Chứng minh: Tứ giác AHBF là hình chữ nhật.c/ Chứng minh: MN, AP và BE đồng qui.d/ Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ECHF là hình bình...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Lấy E đối xứng với P qua N .
a/ Chứng minh: Tứ giác AECP là hình thoi.
b/ Cho MH cắt đường thẳng AE tại F.Chứng minh: Tứ giác AHBF là hình chữ nhật.
c/ Chứng minh: MN, AP và BE đồng qui.
d/ Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ECHF là hình bình hành.
a) Xét tam giác ABC vuông tại A ta có: AP là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC ( P là trung điểm BC)
=> AP= 1/2 BC
mà PC =1/2 BC ( P là trung điểm BC)
nên AP = PC
Xét tứ giác AECP ta có;
N là trung điểm AC (gt)
N là trung điểm EP ( E đối xứng P qua N)
=> tứ giác AECP là hình bình hành
mà AP= PC ( cmt)
nên hình bình hành AECP là hình thoi)
b) Xét tam giác AMF và tam giác BMH ta có
MA = MB ( M là trung điểm AB)
góc FAM = góc MBH (2 góc so le trong và AE //BC)
góc AMF = góc BMH ( 2 góc đối đỉnh )
=> tam giac AMF = tam giac BMH ( g-c-g)
=> MF = MH
Xét tứ giác AHBF ta có
M là trung điểm AB (gt)
M là trung điểm FH ( MF=MH)
=> tứ giác AHBF là hình bình hành
mà góc AHB =90 ( AH là dunog cao tam giác ABC)
nên hbh AHBF là hình chữ nhật
c) Xét tam giác ABC ta có
P là trung điểm BC (gt)
N là trung điểm AC (gt)
=> NP là đường trung bình tam giac ABC
=> NP // AB ; NP =1/2 AB
=> PE //AB ( N thuộc PE)
Gọi I là giao điểm AP và BE
Xét tứ giác ABPE ta có
AE//BC ( AE//PC : P thuộc BC)
PE//AB (cmt)
-> tứ giác ABPE là hình bình hành
mà I là giao điểm AP và BE ( cách gọi)
nên I là trung điểm AP vả BE (1)
Xét tứ giác AMPN ta có
AM //NP ( AB//NP ;M thuộc AB)
AM=NP (=1/2AB)
=> tứ giác AMPN là hình bình hành
=> hai đường chéo Ap và MN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
mà I là trung điểm AP (cmt)
nên I cũng là trung điểm MN ( 2)
Từ (1) (2) suy ra AP.MN. BE đồng qui tại I
d) Giả sử ECHF là hình bình hành ==> EC = HF ( cặp cạnh đối bằng nhau)
mà FH = AB ( tứ giác AHBF là hc nhật)
và AB = EP ( tứ giác ABPE là hbh )
nên EC=EP
ta có; EC =EP (cmt)
EC = CP ( tứ giác AECP là hthoi)
=> EC=EP=CP
=> tam giác EPC là tam giác đều
=> góc ECP =60
-> góc ACB =30 ( t/c hình thoi AECP nên CA là tia phan giác góc ECP)V
Vậy tam giác ABC vuông tại A có góc C=30 thì ECHF là hbh