cho x,y>=1. Chứng minh: \(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\le xy\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
2
ML
8 tháng 6 2015
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-1}}{y}\le1\)
Mà \(x=\left(x-1\right)+1\ge2\sqrt{x-1}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x-1}}{x}\le\frac{\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}}=\frac{1}{2}\)
Tương tự: \(\frac{\sqrt{y-1}}{y}\le\frac{1}{2}\)
Vậy \(\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-1}}{y}\le1\left(đpcm\right)\)
TB
1
1 tháng 3 2021
Áp dụng BĐT cosi:
`(y-1)+1>=2\sqrt{y-1}`
`=>\sqrt{y-1}<=y/2`
`=>x\sqrt{y-1}<=(xy)/2`
Hoàn toàn tương tự:
`\sqrt{x-1}<=x/2`
`=>y\sqrt{x-1}<=(xy)/2`
`=>x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}<=xy`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=2`
NT
2
16 tháng 8 2017
Câu hỏi của Liên Mỹ - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
DT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 8 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(A^2=(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1})^2=(\sqrt{x}\sqrt{xy-x}+\sqrt{y}\sqrt{xy-y})^2\)
\(\leq (x+y)(xy-x+xy-y)=(x+y)(2xy-x-y)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((x+y)(2xy-x-y)\leq \left (\frac{x+y+2xy-x-y}{2}\right)^2=(xy)^2\)
Do đó, \(A^2\leq (xy)^2\Leftrightarrow A\leq xy\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=2\)
TN
10 tháng 10 2016
Áp dụng Bđt \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
Ta có:
\(A^2\le6\left(x+y+z\right)=6\)
\(\Leftrightarrow A\le\sqrt{6}\)(Đpcm)
C
2
T
3 tháng 12 2018
Nếu để ý,bài này Cô si "ngược" là ra =))
Ta có: \(\sqrt{y-1}=\sqrt{1\left(y-1\right)}\le\frac{1+y-1}{2}=\frac{y}{2}\)
Tương tự: \(\sqrt{x-1}\le\frac{x}{2}\)
Do đó: \(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\le x.\frac{y}{2}+y.\frac{x}{2}=\frac{xy}{2}+\frac{xy}{2}=\frac{2xy}{2}=xy^{\left(đpcm\right)}\)
20 tháng 5 2017
Đề phải cho \(x,y\) dương nữa!
Giải:
Ta có: \(xy\left(x+y\right)^2\le\dfrac{1}{64}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy\left(x+y\right)^2}\le\sqrt{\dfrac{1}{64}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\dfrac{1}{8}\)
Vậy ta cần chứng minh BĐT tương đương \(\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\dfrac{1}{8}\)
Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\sqrt{xy}\left(x+y\right)=\dfrac{1}{2}.2\sqrt{xy}\left(x+y\right)\)
\(\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{x+y+2\sqrt{xy}}{4}=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^4}{8}\) \(=\dfrac{1}{8}\)
\(\Rightarrow xy\left(x+y\right)^2\le\dfrac{1}{64}\) (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{4}\)
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có \(xy=\left(x-1\right)y+y\ge2\sqrt{\left(x-1\right)y\cdot y}=2y\sqrt{x-1}.\)
Tương tự \(xy=\left(y-1\right)x+x\ge2\sqrt{\left(y-1\right)x\cdot x}=2x\sqrt{y-1}.\)
Cộng hai bất đẳng thức lại cho ta \(2xy\ge2y\sqrt{x-1}+2x\sqrt{y-1}\Leftrightarrow xy\ge x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}.\) (ĐPCM).