Cho a,b,c >0 và a+b+c=1 . CMR: (1 + a)(1 +b) + (1 + b)(1 + c) + (1 +c)(1 +a) >5
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BC
0
PT
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 8 2023
Lời giải:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$
$\Leftrightarrow (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+(\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c})=0$
$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c(a+b+c)}=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c(a+b+c)})=0$
$\Leftrightarrow (a+b).\frac{ab+c(a+b+c)}{abc(a+b+c)}=0$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b)(c+a)(c+b)}{abc(a+b+c)}=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(c+a)(c+b)=0$
$\Leftrightarrow a+b=0$ hoặc $c+a=0$ hoặc $c+b=0$
Không mất tổng quát giả sử $a+b=0$
$\Leftrightarrow a=-b$.
Khi đó:
$\frac{1}{a^{2017}}+\frac{1}{b^{2017}}+\frac{1}{c^{2017}}=\frac{1}{(-b)^{2017}}+\frac{1}{b^{2017}}+\frac{1}{c^{2017}}$
$=\frac{-1}{b^{2017}}+\frac{1}{b^{2017}}+\frac{1}{c^{2017}}$
$=\frac{1}{c^{2017}}=\frac{1}{(-b)^{2017}+b^{2017}+c^{2017}}$
$=\frac{1}{a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}}$ (đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 8 2023
Lần sau bạn lưu ghi đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để được hỗ trợ tốt nhất. Mọi người đọc đề của bạn dễ hiểu thì cũng sẽ dễ giúp hơn.
TB
0
MN
1
13 tháng 3 2018
\(\left(1+a\right)\left(1+b\right)+\left(1+b\right)\left(1+c\right)+\left(1+c\right)\left(1+a\right)\ge5\)
\(\Leftrightarrow1+a+b+ab+1+b+c+bc+1+c+a+ca\ge5\)
\(\Leftrightarrow3+2\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca\ge5\)
\(\Leftrightarrow5+ab+bc+ca\ge5\)(luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=0;c=1 và các hoán vị
CC
1
5 tháng 7 2017
Ta có \(VP=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}\)\(\left(a,b,c\ne0\right)\)
\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2a+2b+2c}{abc}\)
\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2.\left(a+b+c\right)}{abc}\)\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+0=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=VT\)
Vậy đẳng thức được chứng minh
30 tháng 12 2020
2: Ta có: \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}=\dfrac{a\left(a+b+c\right)}{b+c}+\dfrac{b\left(a+b+c\right)}{c+a}+\dfrac{c\left(a+b+c\right)}{a+b}-a-b-c=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)=a+b+c-a-b-c=0\)
30 tháng 12 2020
1: Sửa đề: Cho \(x,y,z\ne0\) và \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{2}{2x+y+2z}\).
CM:....
Đặt 2x = x', 2z = z'.
Ta có: \(\dfrac{2}{x'}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{2}{z'}=\dfrac{2}{x'+y+z'}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x'}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z'}=\dfrac{1}{x'+y+z'}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x'}-\dfrac{1}{x'+y+z'}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z'}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{y+z'}{x'\left(x'+y+z'\right)}+\dfrac{y+z'}{yz'}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(y+z'\right)\left(yz'+x'^2+x'y+x'z'\right)}{x'yz'\left(x'+y+z'\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x'+y\right)\left(y+z'\right)\left(z'+x'\right)}{x'yz'\left(x'+y+z'\right)}=0\Leftrightarrow\left(2x+y\right)\left(y+2z\right)\left(2z+2x\right)=0\Leftrightarrow\left(2x+y\right)\left(y+2z\right)\left(z+x\right)=0\left(đpcm\right)\)
{1+a}{1+b}+{1+b}{1+c}+{1+c}{1+a}
=1+a+b+ab+1+b+c+bc +1+c+a+ca
=1+1+1+{a+b+c}+{a+b+c} +ab+bc+ca
=5+ab+bc+ca
vìab+bc+ca >0 =>5+ab+bc+ca >5
lik-e cho minh nha