Tìm các số thực x sao cho \(x+\sqrt{2012}\) và \(\frac{13}{x}-\sqrt{2012}\)đều là số nguyên
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Điều kiện xác định: \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow x\ge0\)và \(1006\sqrt{x}+1\ne0\Rightarrow1006\sqrt{x}\ne-1\)(Luôn đúng)
Vậy a có nghĩa khi \(x\ge0\) \(a=\)\(\frac{2012\sqrt{x}+3}{1006\sqrt{x}+1}\)\(=\frac{2012\sqrt{x}+2+1}{1006\sqrt{x}+1}\)\(=\frac{\left(2012\sqrt{x}+2\right)+1}{1006\sqrt{x}+1}\)\(=\frac{2\left(1006\sqrt{x}+1\right)+1}{1006\sqrt{x}+1}\)\(=\frac{2\left(1006\sqrt{x}+1\right)}{1006\sqrt{x}+1}\)\(+\frac{1}{1006\sqrt{x}+1}\)\(=2+\frac{1}{1006\sqrt{x}+1}\)
Vì 2 \(\varepsilon\)Z. Nên để a \(\varepsilon\)Z thì \(\frac{1}{1006\sqrt{x}+1}\) \(\varepsilon\)Z . Để \(\frac{1}{1006\sqrt{x}+1}\)\(\varepsilon\)Z thì 1\(⋮\)\(1006\sqrt{x}+1\)
\(1006\sqrt{x}+1\)\(\varepsilon\)Ư(1) mà Ư(1) =1
\(\Rightarrow\)\(1006\sqrt{x}+1=1\)\(\Leftrightarrow\)\(1006\sqrt{x}=0\)\(\sqrt[]{x}=0\Rightarrow x=0\)(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy để a là số nguyên thì x=0
Mình cần chứng minh: x + 19; 2x + 10; 3x + 13; 4x + 37 là số chính phương
Thật vậy: Đặt x + 19 = a2 ; 4x + 37 = b2 (g/s a; b \(\ge\)0)
=> \(4a^2-b^2=39\)
<=> (2a + b ).(2a - b) = 3.13 = 1.39
Vì 2a + b > 2a - b. Nên ta có các trường hợp sau
+) 3a + b = 13; 2a - b = 3 => 2a = 8; b = 5 => a = 4; b = 5 => x = - 3
Thay vào ta có \(\sqrt{x+19},\sqrt{2x+10},\sqrt{3x+13},\sqrt{4x+37}\)là các số nguyên
=> x = - 3 thỏa mãn
+) 3a + b = 39; 2a - b = 1 => 2a = 20; b = 19 => a = 10; b = 19 => x = 81
Thay vào ta có \(\sqrt{2x+10}\)không là số nguyên
=> x = 81 loại
Đặt: \(x+\sqrt{2017}=a\) với \(a\in Z\), suy ra \(x=a-\sqrt{2017}\).
Ta có: \(\frac{8}{x}=\frac{8}{a-\sqrt{2017}}=\frac{8a+8\sqrt{2017}}{a^2-2017}=\frac{8a}{a^2-2017}+\frac{8}{a^2-2017}.\sqrt{2017}\)
Do vậy, ta có: \(\frac{8}{x}-\sqrt{2017}=\frac{8a}{a^2-2017}+\left(\frac{8}{a^2-2017}-1\right).\sqrt{2017}\)là một số nguyên khi \(\left(\frac{8}{a^2-2017}-1\right)=0\), từ đó tính được \(a=\pm45\Rightarrow x=\pm45-\sqrt{2017}\)
"các số thuộc x " chứ ko phải là "cá số thực x"
ĐKXĐ: \(x-2013\ge0\Leftrightarrow x\ge2013\)
Ta có:
\(A=\sqrt{x-2013-2\sqrt{x-2013}+1}+\sqrt{x-2013-90\sqrt{x-2013}+2025}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{x-2013}-1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-2013}-45\right)^2}\)
\(=\left|\sqrt{x-2013}-1\right|+\left|\sqrt{x-2013}-45\right|\)
\(=\left|\sqrt{x-2013}-1\right|+\left|45-\sqrt{x-2013}\right|\)
\(\ge\left|\sqrt{x-2013}-1+45-\sqrt{x-2013}\right|\)
\(=\left|-1+45\right|=\left|44\right|=44\)
Vậy GTNN của A là 44, đạt được khi và chỉ khi \(\left(\sqrt{x-2013}-1\right)\left(45-\sqrt{x-2013}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow1\le\sqrt{x-2013}\le45\)
\(\Leftrightarrow1\le x-2013\le2025\)
\(\Leftrightarrow2014\le x\le4038\left(tm\right)\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=x+2011\\b=y+2011\\c=z+2011\end{cases}}\) Ta có Hệ:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{a}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+2}\left(A\right)=\sqrt{b}+\sqrt{c+1}+\sqrt{a+2}\left(B\right)\\\sqrt{b}+\sqrt{c+1}+\sqrt{a+2}\left(B\right)=\sqrt{c}+\sqrt{a+1}+\sqrt{b+2}\left(C\right)\end{cases}}\)
Vai trò \(x,y,z\) bình đẳng
Giả sử \(c=Max\left(a;b;c\right)\) vì \(A=C\) ta có:
\(\sqrt{a}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+2}=\sqrt{c}+\sqrt{a+1}+\sqrt{b+2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}\right)+\left(\sqrt{b+2}-\sqrt{b+1}\right)\)
\(=\sqrt{c+2}-\sqrt{c}=\left(\sqrt{c+2}-\sqrt{c+1}\right)+\left(\sqrt{c+1}-\sqrt{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b+2}+\sqrt{b+1}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{c+2}+\sqrt{c+1}}+\frac{1}{\sqrt{c+1}+\sqrt{c}}\left(1\right)\)
Mặt khác \(\hept{\begin{cases}c\ge a\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}\le\frac{1}{\sqrt{c+1}+\sqrt{c}}\\c\ge b\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{b+2}+\sqrt{b+1}}\le\frac{1}{\sqrt{c+2}+\sqrt{c+1}}\end{cases}}\)
Suy ra \(\left(1\right)\) xảy ra khi \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z\) (Đpcm)
\(x^2-1+\sqrt{143}=a\Leftrightarrow x^2-1=a-\sqrt{143}\)
\(\frac{1}{x^2-1}-\sqrt{143}=\frac{1}{a-\sqrt{143}}-\sqrt{143}=\frac{a+\sqrt{143}}{a^2-143}-\sqrt{143}\)
\(=\frac{a}{a^2-143}+\frac{\sqrt{143}}{a^2-143}-\sqrt{143}\)
Để \(\frac{1}{x^2-1}-\sqrt{143}\)là số nguyên thì \(\frac{\sqrt{143}}{a^2-143}-\sqrt{143}\)hữu tỉ suy ra \(\frac{1}{a^2-143}-1=0\Leftrightarrow a=\pm12\).
Từ đây suy ra giá trị của \(x\).
\(x+\sqrt{2012}=a\in Z\Rightarrow x=a-\sqrt{2012}\text{ }\)
\(\frac{13}{x}-\sqrt{2012}=\frac{13}{a-\sqrt{2012}}-\sqrt{2012}=\frac{13\left(a+\sqrt{2012}\right)}{a^2-2012}-\sqrt{2012}\)
\(=\frac{13a}{a^2-2012}+\left(\frac{13}{a^2-2012}-1\right)\sqrt{2012}=\frac{13a}{a^2-2012}+\frac{2025-a^2}{a^2-2012}\sqrt{2012}\)
Do số này là số nguyên nên \(\frac{13a}{a^2-2012}\in Z\text{ và }\frac{2025-a^2}{a^2-2012}=0\)
\(\Leftrightarrow a^2=2025\text{ và }\frac{13a}{a^2-2012}\in Z\)
\(\Leftrightarrow a=45\text{ hoặc }a=-45\text{ và }\frac{13a}{a^2-2012}\in Z\)
\(\Leftrightarrow a=45\text{ hoặc }a=-45\)
Vậy \(x=45-\sqrt{2012}\text{ hoặc }x=-45-\sqrt{2012}\)
Mr Lazy siêu quá đi