Tìm số nguyên dương n sao cho \(3^n-1⋮8\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
0
NT
0
NT
1
TA
3 tháng 7 2017
Đặt \(A=n\left(n+1\right)\left(n+7\right)\left(n+8\right)\)
\(=\left(n^2+8n\right)\left(n^2+8n+7\right)\) (1)
Đặt \(t=n^2+8n\) Vì n > 0 nên t > 0
Vì A là số chính phương đặt A=k2 \(\left(k\in N\right)\) Vì t>0 => k > 0
(1) \(\Rightarrow\) \(t\left(t+7\right)=k^2\)
\(\Leftrightarrow4t^2+28t-4k^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4t^2+28t+49\right)-4k^2-49=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2t+7\right)^2-\left(2k\right)^2=49\)
\(\Leftrightarrow\left(2t+7-2k\right)\left(2t+7+2k\right)=49\)
Xét các ước của 49 với chú ý rằng \(2t+7-2k< 2t+7+2k\) vì k > 0 từ đó dễ dàng tìm được t
Sau đó ta tìm được các giá trị của n.
HL
0
C
0
ND
0
Với n chẵn => n = 2k(k thuộc Z)
=> 3n-1=32k-1=9k-1 chia hết cho (9-1) = 8 ,với mọi k thuộc Z ( theo hằng đẳng thức 8)
Vậy n là chẵn thì 3n-1 chia hết cho 8
Xét 2 trường hợp :
+) TH1 :
n là số chẵn . Đặt \(n=2k\left(k\in z\right)\)
Ta có :
\(3^n-1=3^{2k}-1=\left(9-1\right)\left(9^{k-1}+9^{k-2}+...+9+1\right)⋮8\)
+) TH2
n là số lẻ . Đặt \(n=2k+1\left(k\in z\right)\)
Ta có :
\(3^n-1=3^{k+1}-1=3.9^k-1=3\left(9^k-1\right)+2\)
Vì \(9^k-1⋮8\)
\(\)2 không chia hết cho 8
\(\Rightarrow3\left(9^k-1\right)+2\)không chia hết cho 8
\(\Rightarrow3^n-1\)không chia hết cho 8 .
Vậy \(3^n-1\)chỉ chia hết cho 8 khi n là số chẵn .