Question

[Nguyễn Hoàng trung]

Cho biểu thức sau:\(B=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}}{\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}}\)

A)Tìm ĐKXĐ của B và thu gọn B

B)Tại \(x=\dfrac{a^2+b^2}{2ab}\left(a>b>0\right)\),tính giá trị của B theo a,b 

C)Tìm tất cả các giá trị của x để B≤1

D)Tìm tất cả các giá trị của x để B=2

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a. ĐKXĐ: $x>1$

\(B=\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}=\frac{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})^2}{2}=x+\sqrt{x^2-1}\)

b.

\(B=\frac{a^2+b^2}{2ab}+\sqrt{\frac{a^2+2ab+b^2}{2ab}.\frac{a^2-2ab+b^2}{2ab}}\)

\(=\frac{a^2+b^2}{2ab}+\sqrt{\frac{(a+b)^2(a-b)^2}{(2ab)^2}}=\frac{a^2+b^2}{2ab}+\frac{|a-b||a+b|}{|2ab|}=\frac{a^2+b^2}{2ab}+\frac{a^2-b^2}{2ab}=\frac{a}{b}\)

c.

$B\leq 1\Leftrightarrow (x-1)+\sqrt{x^2-1}\leq 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1})\leq 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}\leq 0$

Mà $\sqrt{x-1}>0$ với mọi $x<1$ nên điều này vô lý)

Vậy không tồn tại $x$ thỏa đkđb

Answer 2

[Akai Haruma]

d.

$B=2\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2-1}=2$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^2-1}=2-x$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2-x\geq 0\\ x^2-1=(2-x)^2=x^2-4x+4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=\frac{5}{4}\)

Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy......