Question

[#ĐNHA]

Với x;y là những số thực, tìm GTNN của biểu thức:

\(P=\sqrt{\frac{x^3}{x^{3\: }+8Y^3}}+\sqrt{\frac{4Y^3}{Y^3+\left(X+Y\right)^3}}\)

Đang tìm những bạn giỏi thật sự trên OLM

Answer 1

[Nắng Hạ]

Ta có :

\(A=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{2y}{x}\right)^3}}\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{\frac{1}{\left(1+\frac{2y}{x}\right)\left(1-\frac{2y}{x}+\frac{4y^2}{x^2}\right)}}\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{\frac{\left(1+\frac{2y}{x}\right)+\left(1-\frac{2y}{x}+\frac{4y^2}{x^2}\right)}{2}}\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{2}{2+\frac{4y^2}{x^2}}=\frac{1}{1+2\left(\frac{y}{x}\right)^2}\)

VÀ

\(B=\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)

\(\Rightarrow B=\sqrt{\frac{4}{1+\left(\frac{x}{y}+1\right)^3}}\)

\(\Rightarrow B=\frac{2}{\sqrt{\left[1+\left(1+\frac{x}{y}\right)\right]\left[1-\left(1+\frac{x}{y}\right)+\left(1+\frac{x}{y}\right)^2\right]}}\)

\(\Rightarrow B\ge\frac{2}{\frac{\left[1+\left(1+\frac{x}{y}\right)\right]+\left[1-\left(1+\frac{x}{y}\right)+\left(1+\frac{x}{y}\right)^2\right]}{2}}\)

\(\Rightarrow B\ge\frac{4}{2+\left(1+\frac{x}{y}\right)^2}\)

Suy ra :

\(P=A+B\ge\frac{1}{1+2\left(\frac{y}{x}\right)^2}+\frac{4}{2+\left(1+\frac{x}{y}\right)^2}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+\left(x+y\right)^2}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+2\left(x^2+y^2\right)}=\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{4y^2}{2x^2+4y^2}=\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{2y^2}{x^2+2y^2}=1\)

"=" khi \(x=y\)

Answer 2

[lê ngọc dương]

lô bn xàm lồn

bn trẩu , m phải ARMY hơm 

nếu phải thì nhục quá trời,tự nhiên fan BTS lại chưa con phò như mài ,u hú hú

bớt sàm lại đuy,ko thì đừng làm AMI nx,ư~~