Question

[Trung Nguyễn Đình Trung]

Cho tam giác ABC vuông ở A.Lấy M thuộc AB. Trên tia đối tia CA lấy N sao cho MB = CN, đường trung trực MN cắt đường phân giác góc A tại O. C/m : \(\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{4}{BC^2}\)

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của O trên 2 cạnh AB và AC của \(\Delta\)ABC

Suy ra OH=OK (Vì AO là tia phân giác ^BAC)

Do O nằm trên trung trực của MN nên OM=ON (T/c đường trung trực)

Xét \(\Delta\)OHM và \(\Delta\)OKN: ^OHN=^OKN=90⁰; OM=ON; OH=OK

=> \(\Delta\)OHM=\(\Delta\)OKN (Cạnh huyền cạnh góc vuông) => ^OMH=^ONK

Hay ^OMB=^ONC. Xét \(\Delta\)OBM và \(\Delta\)OCN:

BM=CN; ^OMB=^ONC; OM=ON => \(\Delta\)OBM=\(\Delta\)OCN (c.g.c)

=> ^OBM=^OCN => ^OBA=^OCN => Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn

=> ^BAC+^BOC=180⁰. Mà ^BAC=90⁰ => ^BOC=90⁰.

Mặt khác \(\Delta\)OBM=\(\Delta\)OCN (cmt) => OB=OC => \(\Delta\)BOC vuông cân tại O

Theo ĐL Pytagore thì \(BC=\sqrt{2}.OB\Leftrightarrow\frac{BC}{OB}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\frac{BC^2}{OB^2}=2\) 

Để chứng minh hệ thức: \(\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{4}{BC^2}\Leftrightarrow\frac{BC^2}{AB^2}+\frac{BC^2}{OB^2}=4\)(x2 vế với BC²)

Đã có: \(\frac{BC^2}{OB^2}=2\Rightarrow\frac{BC^2}{AB^2}+2=4\Leftrightarrow\frac{BC^2}{AB^2}=2\)

Ta đi chứng minh \(\frac{BC^2}{AB^2}=2\Leftrightarrow BC^2=2.AB^2\)

Mà \(BC^2=AB^2+AC^2\)(ĐL Pytagore) nên \(AB^2=AC^2\Leftrightarrow AB=AC\)

Tức là phải c/m tam giác ABC vuông cân ở A (mâu thuẫn với đề bài) ---> Đề thiếu.