1) Cho $0< x\le2$, $0< y\le2$, $0< z\le2$. Tìm GTLN của:A = $\frac{x}{4 2y zx} \frac{y}{4 2z xy} \frac{z}{4 2x yz}$.2) Cho tam giác ABC nhọn có AD, BE, CF là đường cao, H là trực tâm.a/ CMR: T...

ON

Oh Nguyễn

17 tháng 5 2018 - olm

1) Cho $0< x\le2$, $0< y\le2$, $0< z\le2$. Tìm GTLN của:A = $\frac{x}{4+2y+zx}+\frac{y}{4+2z+xy}+\frac{z}{4+2x+yz}$.2) Cho tam giác ABC nhọn có AD, BE, CF là đường cao, H là trực tâm.a/ CMR: Tam giác AEF và tam giác ABC đồng dạngb/ CMR: AE.BF.CD = AF.BD.CE = DE.DF.DF3) Cho tứ giác ABCD có $\widehat{DAB}=\widehat{BCD}=90^o$ . Vẽ DE, BF vuông góc AC tại E, F. CMR: AE =...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

0

AJ

Angela jolie

27 tháng 6 2020

Cho 0≤x, y, z≤1. CMR: $\frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+zx}+\frac{z}{1+xy}\le2$

#Toán lớp 9

2

AH

Akai Haruma

Giáo viên

27 tháng 6 2020

Lời giải:

Do $x,y,z\in [0;1]$ nên $1+yz; 1+xz; 1+xy\geq 1+xyz$

$\Rightarrow \frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+xz}+\frac{z}{1+xy}\leq \frac{x+y+z}{1+xyz}$

Ta cần chứng minh: $\frac{x+y+z}{1+xyz}\leq 2$

$\Leftrightarrow x+y+z\leq 2+2xyz(*)$

Thật vậy:

$x,y\in [0;1]\Rightarrow (x-1)(y-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow xy+1\geq x+y\Rightarrow xy+z+1\geq x+y+z(1)$
Mà:

$xy+z+1-(2+2xyz)=xy+z-2xyz-1=xy(1-z)-(1-z)-xyz=(xy-1)(1-z)-xyz\leq 0$ do $0\leq x,y,z\leq 1$)

$\Rightarrow xy+z+1\leq 2+2xyz(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow x+y+z\leq 2+2xyz$

BĐT $(*)$ đc chứng minh nên ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(1,1,0)$ và hoán vị

Đúng(0)

T

tthnew

1 tháng 7 2020

Trâu bò nhưng bù lại là đơn giản:

$VP-VT\equiv f\left(x,y,z\right)=f\left(\frac{a}{a+1},\frac{b}{b+1},\frac{c}{c+1}\right)\ge0$

Bất đẳng thức cuối quy đồng lên sẽ thấy điều hiển nhiên ;)

Đúng(0)

LV

Lê Văn Hoàng

20 tháng 8 2017 - olm

cho x,y,z >0 và $x+y+z\le2$.CMR

$\frac{x}{2x+1}+\frac{y}{2y+1}+\frac{z}{2z+1}\le\frac{6}{7}$

#Toán lớp 9

1

NT

Nguyễn Thiều Công Thành

20 tháng 8 2017

áp dụng bđt schwarts ta có:

$\frac{1}{2x+1}+\frac{1}{2y+1}+\frac{1}{2z+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2x+2y+2z+3}\ge\frac{9}{7}$

$\Rightarrow1-\frac{1}{2x+1}+1-\frac{1}{2y+1}+1-\frac{1}{2z+1}\le3-\frac{9}{7}$

$\Rightarrow\frac{2x}{2x+1}+\frac{2y}{2y+1}+\frac{2z}{2z+1}\le\frac{12}{7}$

$\Rightarrow\frac{x}{2x+1}+\frac{y}{2y+1}+\frac{z}{2z+1}\le\frac{6}{7}\left(Q.E.D\right)$

dấu = xảy ra khi x=y=z=2/3

Đúng(0)

NP

Nguyễn Phạm Châu Anh

20 tháng 3 2017 - olm

Câu hỏi hay

Cho 0<x<y<z<1.CMR:

$\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le2$

#Toán lớp 8

1

DD

Đinh Đức Hùng

22 tháng 3 2017

Sửa lại đề :

Cho $0\le x\le y\le z\le1$ CMR : $\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le2$

Giải :

Từ $x\le y\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1\le0\\y-1\le0\end{cases}\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0}$

$\Rightarrow xy-x-y+1\ge0\Rightarrow xy+1\ge x+y$

$\Rightarrow\frac{1}{xy+1}\le\frac{1}{x+y}\Rightarrow\frac{z}{xy+1}\le\frac{z}{x+y}$$\left(x\ge0\right)$

Mà $\frac{z}{x+y}\le\frac{2z}{x+y+z}$ nên $\frac{z}{xy+1}\le\frac{2z}{x+y+z}\left(1\right)$

CM tương tự ta cũng có :$\hept{\begin{cases}\frac{x}{yz+1}\le\frac{2x}{x+y+z}\left(2\right)\\\frac{y}{xz+1}\le\frac{2y}{x+y+z}\left(3\right)\end{cases}}$

Cộng các vế của (1) ; (2) ; (3) lại ta được :

$\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le\frac{2x+2y+2z}{x+y+z}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2$ (ĐPCM)

Đúng(0)

NT

Nguyễn Thị Mai Anh

7 tháng 12 2017 - olm

$0\le x,y,z\le1\\ CMR\\ \frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le2$

#Toán lớp 9

0

VT

Vo Trong Duy

18 tháng 5 2017 - olm

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn. Đường cao AD; H là trực tâm. Chứng minh rằng: $4DA.DH\le BC^2$Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. a. CMR: $\frac{AH}{BC}+\frac{BH}{AC}+\frac{CH}{AB}\ge\sqrt{3}$ b. Đường tròn (H;HA) cắt AB,AC lần lượt tại P và Q. CMR: OA vuông góc PQ. c. Gọi M,N là hình chiếu của BC trên đường thẳng EF. CMR: DE+DF=MN.Bài 3: Cho x,y,z>0 và x+y+z=1....

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

W

Winkies

28 tháng 1 2019 - olm

CMR : $\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le2;\left(0\le x\le y\le z\le1\right)$

#Toán lớp 7

2

K

KWS

28 tháng 1 2019

CMR : $\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le2;\left(0\le x\le y\le z\le1\right)$

Ta có : $\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{xy+1}+\frac{z}{xy+1}=\frac{x+y+z}{xy+1}\left(1\right)$

Ta lại có : $0\le x\le1;0\le y\le1$

$\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0$

$\Leftrightarrow xy-x-y+1\ge0$

$\Leftrightarrow xy+1\ge x+y\left(2\right)$

Thay (2) và (1) được : $\frac{x+y+z}{xy+1}\le\frac{xy+1+2}{xy+1}\le\frac{2\left(xy+1\right)}{xy+1}=2$

Đúng(0)

TL

Tran Le Khanh Linh

16 tháng 5 2020

Vì $0\le x\le y\le z\le1\Rightarrow x-1\le0;y-1\le0$

$\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\Rightarrow xy+1\ge x+y\Rightarrow\frac{1}{xy+1}\le\frac{1}{x+y}\Rightarrow\frac{z}{xy+1}\le\frac{z}{x+y}\left(1\right)$

Cmtt: $\hept{\begin{cases}\frac{x}{yz+1}\le\frac{x}{y+z}\left(2\right)\\\frac{y}{xz+1}\le\frac{y}{x+z}\left(3\right)\end{cases}}$

Từ (1), (2), (3) ta có:

$\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\left(4\right)$

Mà $\frac{x}{y+z}\le\frac{x+z}{x+y+z}\Rightarrow\frac{x}{y+z}\le\frac{2x}{x+y+z}$

Cmtt: $\hept{\begin{cases}\frac{y}{x+z}\le\frac{2y}{x+y+z}\\\frac{z}{x+y}\le\frac{2z}{x+y+z}\end{cases}}$

$\Rightarrow\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\le\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}\le2\left(5\right)$

Từ (4), (5) => đpcm

Đúng(0)

ND

Nguyen Duy Dai

21 tháng 8 2020 - olm

cho x y z > 0 và xyz=1. tìm gtln của $P=\frac{xy}{x^4+y^4+xy}+\frac{yz}{y^4+z^4+yz}+\frac{zx}{z^4+x^4+zx}$

#Toán lớp 9

0

HM

Hoàn Minh

12 tháng 3 2022

a, Cho x, y, z > 0 $\in[0,1]$. Chứng minh:

$\dfrac{x}{yz+1}+\dfrac{y}{xz+1}+\dfrac{z}{xy+1}< 2$

b, x, y, z > 0 : xyz = 1. Chứng minh:

$\dfrac{1}{x^2+2y+3}+\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}+\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}\le2$

#Toán lớp 9

0

AV

An Vy

8 tháng 7 2019 - olm

Cho xy+yz+zx=2xyz ; x,y,z>0 Tìm max $A=\sqrt{\frac{x}{2y^2z^2+xyz}}+\sqrt{\frac{y}{2x^2z^2+xyz}}+\sqrt{\frac{z}{2x^2y^2+xyz}}$

#Toán lớp 9

1

G

Girl

8 tháng 7 2019

$A=\sqrt{\frac{x}{2y^2z^2+xyz}}+\sqrt{\frac{y}{2x^2z^2+xyz}}+\sqrt{\frac{z}{2x^2y^2+xyz}}$

$A=\sqrt{\frac{x^2}{2xyz.yz+xz.xy}}+\sqrt{\frac{y^2}{2xyz.xz+xy.yz}}+\sqrt{\frac{z^2}{2xyz.xy+xz.yz}}$

$A=\sqrt{\frac{x^2}{yz\left(xy+yz+xz\right)+xz.xy}}+\sqrt{\frac{y^2}{xz\left(xy+yz+xz\right)+xy.yz}}+\sqrt{\frac{z^2}{xy\left(xy+yz+xz\right)+xz.yz}}$

$A=\sqrt{\frac{x^2}{\left(yz+xy\right)\left(yz+xz\right)}}+\sqrt{\frac{y^2}{\left(xz+xy\right)\left(xz+yz\right)}}+\sqrt{\frac{z^2}{\left(xy+yz\right)\left(xy+xz\right)}}$

Áp dụng bđt $\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}$ ta có:

$2A\le\frac{x}{yz+xy}+\frac{x}{yz+xz}+\frac{y}{xz+xy}+\frac{y}{xz+yz}+\frac{z}{xy+yz}+\frac{z}{xy+xz}$

$=\frac{x+z}{yz+xy}+\frac{x+y}{yz+xz}+\frac{y+z}{xz+xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

Mà: $xy+yz+xz=2xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$

$\Rightarrow2A\le2\Rightarrow A\le1."="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{3}{2}$

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP