chứng minh \(\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+...+\sqrt{a}}}}< \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 3 2020
Ta có: \(4b\sqrt{c}-c\sqrt{a}=\sqrt{c}\left(4b-\sqrt{ac}\right)>0\)( do \(1< a,b,c< 2\))
Tương tự => Các MS dương
\(VT=\frac{ba}{4b\sqrt{ac}-ca}+\frac{cb}{4c\sqrt{ba}-ab}+\frac{ac}{4a\sqrt{bc}-bc}\)
Áp dụng BĐT cosi schawr ta có
\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)^2}{4b\sqrt{ac}+4c\sqrt{ab}+4a\sqrt{bc}-ab-bc-ac}\)
Áp dụng cosi ta có \(2b\sqrt{ac}=2\sqrt{ab}.\sqrt{ac}\le ab+ac\);\(2c\sqrt{ab}\le ac+bc\);\(2a\sqrt{bc}\le ab+ac\)
=> \(VT\ge\frac{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)^2}{ab+bc+ac+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}}=\frac{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)^2}{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)^2}=1\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
2 tháng 1 2021
CM: \(a=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{\sqrt{2}}{8}\Rightarrow a+\frac{\sqrt{2}}{8}=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+\frac{\sqrt{2}}{8}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}\right)^2\)\(\Leftrightarrow a^2+\frac{a\sqrt{2}}{4}+\frac{1}{32}=\frac{1}{4}\left(\sqrt{2}+\frac{1}{8}\right)\Leftrightarrow a^2+\frac{2\sqrt{a}}{4}+\frac{1}{32}=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{1}{32}\)
\(\Leftrightarrow4a^2+\sqrt{2}a-\sqrt{2}=0\)
Theo trên: \(4a^2+\sqrt{2}a-\sqrt{2}=0\Rightarrow a^2=\frac{\sqrt{2}\left(1-a\right)}{4}\Rightarrow a^4=\frac{a^2-2a+1}{8}\)
\(\Rightarrow a^4+a+1=\frac{a^2-2a+1}{8}+a+1=\left(\frac{a+3}{2\sqrt{2}}\right)^2\)
\(B=a^2+\sqrt{a^4+a+1}=a^2+\frac{a+3}{2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}a^2+a+3}{2\sqrt{2}}\)\(=\frac{4a^2+\sqrt{2}a+3\sqrt{2}}{4}=\frac{4\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 10 2021
\(a^2=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\left(1-a\right)\)
\(\Rightarrow a^4=\dfrac{1}{8}\left(1-a\right)^2\)
\(\Rightarrow a^4+a+1=\dfrac{1}{8}\left(1-a\right)^2+a+1=\dfrac{1}{8}\left(a^2+6a+9\right)=\dfrac{1}{8}\left(a+3\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^4+a+1}-a^2=\sqrt{\dfrac{1}{8}\left(3+a\right)^2}-a^2=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\left(a+3\right)-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\left(1-a\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(a+1\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+1}{\sqrt{a^4+a+1}-a^2}=\dfrac{a+1}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(a+1\right)}=\sqrt{2}\)
DH
2 tháng 12 2019
B đâu ra chỉ? Không biết đề có sai không chứ mình rút gọn ra nhiêu đây thì ko đủ chứng minh C\(\ge0\) được
Y
19 tháng 6 2019
1. \(A=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2}}{\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
3. \(\frac{\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}}:\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}\) \(=\frac{\sqrt{\left(1-a\right)}\cdot\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}\cdot\sqrt{1-a}}\cdot\sqrt{1-a^2}\)
\(=\frac{1-a}{\sqrt{1-a^2}}\cdot\sqrt{1-a^2}=1-a\)