Cho x,y,z > 0 và x^2+y^2-z^2 > 0. Chứng minh rằng x+y-z > 0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NM
1
TN
22 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{\left(y+z\right)\sqrt{yz}}{x}\ge\frac{2\sqrt{yz}\cdot\sqrt{yz}}{x}=\frac{2\sqrt{\left(yz\right)^2}}{x}=\frac{2yz}{x}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có
\(\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}\ge\frac{2xy}{z};\frac{\left(x+z\right)\sqrt{xz}}{y}\ge\frac{2xz}{y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(y+z\right)\sqrt{yz}}{x}+\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}+\frac{\left(x+z\right)\sqrt{xz}}{y}\ge\frac{2xy}{z}+\frac{2yz}{x}+\frac{2xz}{y}\)
Cần chứng minh \(\frac{2xy}{z}+\frac{2yz}{x}+\frac{2xz}{y}\ge2\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge x+y+z\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}\cdot\frac{yz}{x}}=2\sqrt{y^2}=2y\)
Tương tự rồi cộng theo vế ta có ĐPCM
Khi \(x=y=z\)
NM
3
AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 7 2017
Lời giải:
Đặt \((x,y,z)=(a^2,b^2,c^2)\). Bài toán tương đương với:
\(\frac{bc(b+c)}{a}+\frac{ac(a+c)}{b}+\frac{ab(a+b)}{c}\geq 2(a^2+b^2+c^2)\)
Biến đổi ta thấy:
\(\text{VT}=a^2\left ( \frac{b}{c}+\frac{c}{b} \right )+b^2\left ( \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right )+c^2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\left\{\begin{matrix} \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\\ \frac{a}{c}+\frac{c}{a}\geq 2\\ \frac{b}{c}+\frac{c}{b}\geq 2\end{matrix}\right.\Rightarrow \text{VT}\geq 2(a^2+b^2+c^2)=\text{VP}\)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z>0\)
22 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{\left(y+z\right)\sqrt{yz}}{x}\ge\dfrac{2\sqrt{yz}\cdot\sqrt{yz}}{x}=\dfrac{2yz}{x}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại thì được:
\(\dfrac{2xy}{z}+\dfrac{2yz}{x}+\dfrac{2xz}{y}\ge2\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}\ge x+y+z\)
Tiếp tục dùng AM-GM:
\(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}\ge2\sqrt{y^2}=2y\)
Tương tự rồi cộng theo vế có:
\(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}\ge x+y+z\) (đúng)
Hay ta có ĐPCM. Khi \(x=y=z\)
L1
1
BY
4 tháng 10 2019
ta có thể cm x^3+y^3+z^3=3xyz =>(x+y+z)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=0
=>a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0
nhân cả 2 vế với 2 ta đc
2.(x^2+y^2+z^2-xz-yz-yx)=2.0=0
=2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz
=>(y^2-2yx+x^2)+(y^2-2xz+z^2)+(x^2-2xz+z^2)=0
<=> (y-x)^2+(y-z)^2+(x-z)^2=0
mà ta lại có (y-x)^2>=0 ; (y-z)^2>=0 ; (x-z)^2>=0
và (y-x)^2+(y-x)^2+(x-z)^2=0
<=>(y-x)^2=0<=>y=x
<=>(y-z)^2=0 <=>y=z
<=>(x-z)^2=0<=>x=z
=>x=y=z
13 tháng 8 2017
3) Đặt b+c=x;c+a=y;a+b=z.
=>a=(y+z-x)/2 ; b=(x+z-y)/2 ; c=(x+y-z)/2
BĐT cần CM <=> \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\)
VT=\(\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}-1+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}-1+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-1\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)-3\right]\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)(Cauchy)
Dấu''='' tự giải ra nhá
13 tháng 8 2017
Bài 4
dễ chứng minh \(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(a+c\right)^2\ge64a^2b^2c^2\)
rồi khai căn ra \(\Rightarrow\)dpcm.
đấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 5 2019
a/
Do \(\left\{{}\begin{matrix}a>2\Rightarrow\frac{1}{a}< \frac{1}{2}\\b>2\Rightarrow\frac{1}{b}< \frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}< \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}< 1\Rightarrow a+b< ab\) (đpcm)
b/ Ko rõ đề là gì
c/ \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
23 tháng 5 2016
1) ( x, y, z chứng minh rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z+3 2 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu x + y + z- xy – yz - zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx) =đúng với mọi x;y;z Vì (x-y)2 0 với(x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 với(x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z)2 0 với( z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx Dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) đúng với mọi x;y;z Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1 = (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 2) chứng minh rằng :a) ;b) c) Hãy tổng quát bài toángiảia) Ta xét hiệu = = = Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=bb)Ta xét hiệu = VậyDấu bằng xảy ra khi a = b =cc)Tổng quát 3) Chứng minh (m,n,p,q ta đều có m+ n+ p+ q+1( m(n+p+q+1) Giải: (luôn đúng)Dấu bằng xảy ra khi 4) Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng a) b) c) Giải: a) (bất đẳng thức này luôn đúng) Vậy (dấu bằng xảy ra khi 2a=b) b) Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=b=1 c) Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh5) Chứng minh rằng: Giải: a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh 6) cho x.y =1 và x>y Chứng minh Giải: vì :xy nên x- y 0 x2+y2 ( x-y) x2+y2- x+y 0 x2+y2+2- x+y -2 0 x2+y2+()2- x+y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2(x-y-)2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh7) 1)CM: P(x,y)= 2)CM: (