cho 2 số x,y thỏa mãn điệu kiện x+y=2
Cm x^4+y^4>=2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
4 tháng 5 2018
có : (x-y)2 \(\ge0,\forall x,y\)
==>x2-2xy+y2 \(\ge\)0 \(\forall x,y\)
==> 2.(x2+y2)\(\ge\)2xy +x2+y2 \(\forall x,y\)
==> x2+y2 \(\ge\)\(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}=\dfrac{2^2}{2}=2\) ( do x+y=2) \(\forall x,y\)
lại có (x2-y2)2\(\ge\)0\(\forall x,y\)
==> x4+y4-2x2y2 \(\ge\)0 \(\forall x,y\)
==> 2.(x4+y4) \(\ge\)2x2y2 + x4+y4 \(\forall x,y\)
==> x4+y4 \(\ge\)\(\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{2^2}{2}=2\)
==> đpcm
dấu ''=,, xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\x-y=0\\x^2-y^2=0\end{matrix}\right.< =>x=y=1}\)
2 tháng 1 2021
3: \(P=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)+\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}\right)=\dfrac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = y = x = \(\dfrac{1}{3}\).
PP
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 3 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm:
\(x^4+1+1+1\geq 4\sqrt[3]{x^4}=4|x|\geq 4x\)
\(y^4+1+1+1\geq 4\sqrt[4]{y^4}=4|y|\geq 4y\)
Cộng theo vế:
\(x^4+y^4+6\geq 4(x+y)\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4+6\geq 8\Leftrightarrow x^4+y^4\geq 2\)
Ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=1\)
28 tháng 11 2021
Ta có \(x+y\le1\Leftrightarrow1-x\ge y>0\Leftrightarrow0< x< 1\)
Giả sử \(x^2-\dfrac{3}{4x}-\dfrac{x}{y}\le-\dfrac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow4x^2+9\le\dfrac{3}{x}+\dfrac{4x}{y}\\ \Leftrightarrow\dfrac{4x}{1-x}+\dfrac{3}{x}\ge4x^2+9\\ \Leftrightarrow\dfrac{4x^2+3\left(1-x\right)-x\left(4x^2+9\right)\left(1-x\right)}{x\left(1-x\right)}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{4x^4-4x^3+13x^2-12x+3}{x\left(1-x\right)}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2+3\right)\left(2x-1\right)^2}{x\left(1-x\right)}\ge0\)
Vì \(x>0;1-x>0\) nên BĐT trên luôn đúng
Vậy ta được đpcm
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
30 tháng 5 2020
\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)
\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)
\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)
\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)
Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Áp dụng Bất đẳng thức Bunyakovsky ta có:
\(\left(x+y\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^4\le4\left(x^2+y^2\right)^2\) (2)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)
Áp dụng Bất đẳng thức Bunyakovsky ta có:
\(\left(x^2+y^2\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^4+y^4\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(4\left(x^2+y^2\right)^2\le8\left(x^4+y^4\right)\) (1)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x^2=y^2\)\(\Leftrightarrow\)\(x=\pm y\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\left(x+y\right)^4\le8\left(x^4+y^4\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(16\le8\left(x^4+y^4\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^4+y^4\ge2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=1\)