Cho \(x,y,z\ge0\)thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=2\)
Chứng minh \(\frac{x^2}{x^2+yz+1}+\frac{y^2}{y^2+zx+1}+\frac{z^2}{z^2+xy+1}\le1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 6 2021
\(\dfrac{x-y}{z^2+1}=\dfrac{x-y}{z^2+xy+yz+zx}=\dfrac{x-y}{z\left(z+y\right)+x\left(z+y\right)}=\dfrac{x-y}{\left(x+z\right)\left(z+y\right)}\)
Tương tự: \(\dfrac{y-z}{x^2+1}=\dfrac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\);\(\dfrac{z-x}{y^2+1}=\dfrac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT=\dfrac{x-y}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\dfrac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(y-z\right)\left(y+z\right)+\left(z-x\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\dfrac{x^2-y^2+y^2-z^2+z^2-x^2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=0\)(đpcm)
LD
25 tháng 9 2019
Đã tìm ra lời giải:
gt \(\Rightarrow\left(xy+yz+zx\right)^2=\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\ge3\)
Áp dụng bđt Bunhiacopxki:
\(\frac{1}{\left(x^2+y+1\right)\left(1+y+z^2\right)}\le\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}\Rightarrow\frac{1}{x^2+y+1}\le\frac{1+y+z^2}{\left(x+y+z\right)^2}\)
Tương tự rồi cộng lại, ta được:
\(VT\le\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(x+y+z\right)+3}{\left(x+y+z\right)^2}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)+\left(xy+yz+zx\right)+3}{\left(x+y+z\right)^2}\)
\(=1+\frac{-\left(xy+yz+zx\right)+3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le1+\frac{-3+3}{3^2}=1\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
KN
18 tháng 7 2020
Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành: \(\frac{1}{\sqrt{xy}-4}+\frac{1}{\sqrt{yz}-4}+\frac{1}{\sqrt{zx}-4}\ge-1\)(*)
Theo BĐT Cauchy, ta có: \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z\)
Mà ta có: \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)=9\Rightarrow x+y+z\le3\)nên \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le3\)
Theo BĐT Bunyakovsky dạng phân thức: \(\frac{1}{\sqrt{xy}-4}+\frac{1}{\sqrt{yz}-4}+\frac{1}{\sqrt{zx}-4}\)\(\ge\frac{9}{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}-12}\ge\frac{9}{3-12}=-1\)
Suy ra (*) đúng
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
18 tháng 7 2020
Ine CTV
dễ thấy \(x,y,z< \sqrt{3}\)\(\Rightarrow\)\(\sqrt{xy}-4< 0\); ...
cauchy-schwarz chỉ dùng cho mẫu dương nha em, bài này lúc trước anh cũng lam sai, noi trước để đừng lục lại :D
T
11 tháng 2 2020
Cho a, b, c mà bắt chứng minh x, y, z nên ko chứng minh đc là đúng òi:)
\(VT-VP=\Sigma_{cyc}\frac{\left(x-y\right)^4}{4xy\left(x^2+y^2\right)}\ge0\)
25 tháng 4 2021
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)