Cho a,b,c thuộc N*,Chứng minh a/b+c + b/a+c + c/a+b > 1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TH
0
NC
26 tháng 8 2020
Bài làm:
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+3abc-abc=0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)+c\left(a^2+2ab+b^2\right)+c^2\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca+c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
=> a+b=0 hoặc b+c=0 hoặc c+a=0
=> a=-b hoặc b=-c hoặc c=-a
=> Sẽ phải luôn tồn tại 2 trong 3 số a,b,c đối nhau
Ko mất tổng quát, g/s a=-b
=> \(\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=-\frac{1}{b^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n}\) (vì n lẻ)
Và \(\frac{1}{\left(a+b+c\right)^n}=\frac{1}{\left(-b+b+c\right)^n}=\frac{1}{c^n}\)
=> \(\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{\left(a+b+c\right)^n}\)
HS
3
2 tháng 6 2020
Vì \(a>b\) nên \(a=b+m\) \(\left(m\inℕ^∗\right)\)
Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{b+m}{b}=1+\frac{m}{b}\)
\(\frac{a+c}{b+c}=\frac{b+m+c}{b+c}=1+\frac{m}{b+c}\)
Mà \(\frac{m}{b}>\frac{m}{b+c}\) nên \(1+\frac{m}{b}>1+\frac{m}{b+c}\)
hay \(\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}\) (đpcm)
2 tháng 6 2020
Theo cj nghĩ :
\(a>b\Rightarrow a-b>0\left(a;b\inℕ^∗\right)\)
Mà : \(\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}=\frac{a\left(b+c\right)}{b\left(b+c\right)}-\frac{b\left(a+c\right)}{b\left(b+c\right)}=\frac{a\left(b+c\right)-b\left(a+c\right)}{b\left(b+c\right)}=\frac{c\left(a-b\right)}{b\left(b+c\right)}>0\)
Do đó : \(\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}\left(đpcm\right)\)
DH
1
26 tháng 2 2017
Ta có:
\(\left\{\begin{matrix}\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\\\frac{c}{a+c}>\frac{c}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\) (1)
Lại có:
\(\left\{\begin{matrix}\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\\\frac{c}{a+c}< \frac{c+b}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế với vế lại được:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< 2\)
Vậy \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< 2\) (Đpcm)
CT
5
S
26 tháng 2 2017
Ta có: \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng lại ta được:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Vậy \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\left(đpcm\right)\)
NM
0
P
0
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=<10?
ài này phải có thêm đk là 1 ≤ a, b, c ≤ 2 ; nếu ko có đk này thì bđt chưa đúng như bác Hoàng Khôi đã dẫn ra chổ sai
hơn nữa tôi có thấy bài này 1 lần có đk đó: a, b, c thuộc [1,2]
và vp-two có giải là: (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 9
(chứ không phải là ≤ 9 như @Inguyenmai đâu nha)
- - -
cần cm: (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≤ 10 (♥)
<=> a/b + a/c + b/a + b/c + c/a + c/b ≤ 7 (♥♥)
không giãm tính tổng quát giả sử 1 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 2
ta có: (a-b)(b-c) ≥ 0 <=> ab+bc ≥ b² + ac (*)
chia 2 vế của (*) cho bc ta có: a/c + 1 ≥ b/c + a/b (1*)
chia 2 vế của (*) cho ab ta có: 1 + c/a ≥ c/b + b/a (2*)
lấy (1*) + (2*) và đổi hướng bđt ta có:
b/c + a/b + c/b + b/a ≤ 2 + a/c + c/a
=> a/b + a/c + b/a + b/c + c/a + c/b ≤ 2 + 2(a/c + c/a) (**)
do giả thiết: 1 ≤ a ≤ c ≤ 2 nên 1 ≤ c/a ≤ 2 => c/a - 2 ≤ 0 và c/a - 1/2 ≥ 0
=> (c/a - 1/2)(c/a - 2) ≤ 0 <=> (c/a)² - (5/2)(c/a) + 1 ≤ 0
=> (c/a)² + 1 ≤ (5/2).(c/a) (tiếp theo là chia hai vế cho c/a )
=> c/a + a/c ≤ 5/2 ; thay vào (**) ta có
a/b + a/c + b/a + b/c + c/a + c/b ≤ 2 + 2(5/2) = 7 vây (♥♥) đúng => (♥) đúng
dấu "=" khi c/a = 2 => c = 2, a = 1 , (b = 1 hoặc b = 2)
tức dấu "=" tại: a = b = 1; c = 2 hoặc a = 1, b = c = 2 và các hoán vị
p/s:tham khảo
K hiểu