Tìm \(x,y\in N\) thỏa mãn: \(3^x+1=\left(y+1\right)^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AD
0
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
6 tháng 11 2017
1. Ta có \(x^3+6x^2-19x-24=x^3+x^2+5x^2+5x-24x-24\)
\(=x^2\left(x+1\right)+5x\left(x+1\right)-24\left(x+1\right)\)
\(=\left(x+1\right)\left(x^2+5x-24\right)\)
\(=\left(x+1\right)\left(x+8\right)\left(x-3\right)\)
Đặt x - 3 = k, biểu thức trở thành A = k(k + 4)(k + 11)
Ta thấy ngay A chứa ít nhất một số nhân tử là số chẵn nên A chia hết cho 2. Ta chỉ cần chứng minh A chia hết 3.
Thật vậy, nếu k = 3a thì A chia hết cho A.
Nếu k = 3a + 1 thì k + 11 = 3a + 1 + 11 = 3a + 12 chia hết 3
Nếu k = 3a + 2 thì k + 4 = 3a + 2 + 4 = 3a + 6 chia hết 3
Vậy A chia hết cho 2 và 3 mà (2;3) = 1 nên A chia hết cho 6.
2. \(y^2+2\left(x^2+1\right)=2y\left(x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow y^2+2x^2+2=2xy+2y\)
\(\Leftrightarrow y^2+2x^2+2-2xy-2y=0\)
\(\Leftrightarrow2y^2+4x^2+4-4xy-4y=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^2-4y+4\right)+\left(4x^2-4xy+y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-2\right)^2+\left(2x-y\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(y-2\right)^2=0\\\left(2x-y\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\2x=y\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)
Vậy x = 1, y = 2
3 tháng 6 2021
Gt\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(x-\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\left(x-\sqrt{x^2+2}\right)\)
\(\Leftrightarrow-2\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\left(x-\sqrt{x^2+2}\right)\)
\(\Leftrightarrow x-\sqrt{x^2+2}+y-1+\sqrt{y^2-2y+3}=0\) (*)
\(\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)\left(y-1-\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\left(y-1-\sqrt{y^2-2y+3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2}\right).-2=2\left(y-1-\sqrt{y^2+2y+3}\right)\)
\(\Leftrightarrow y-1-\sqrt{y^2+2y+3}+x+\sqrt{x^2+2}=0\) (2*)
Cộng vế với vế của (*) và (2*) => \(2x+2y-2=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=1\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=1\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy=1\)
3 tháng 6 2021
Ta có:`(x+sqrt{x^2+2})(sqrt{x^2+2}-x)=2`
`<=>sqrt{x^2+2}-x=y-1+sqrt{y^2-2y+3}`
`<=>sqrt{x^2+2}-sqrt{y^2-2y+3}=x+y-1(1)`
CMTT:`sqrt{y^2-2y+3}-(y-1)=x+sqrt{x^2+2}`
`<=>sqrt{y^2-2y+3}-y+1=x+sqrt{x^2+2}`
`<=>sqrt{y^2-2y+3}-sqrt{x^2+2}=x+y-1(2)`
Cộng từng vế (1)(2) ta có:
`2(x+y-1)=0`
`<=>x+y-1=0`
`<=>x+y=1`
`<=>(x+y)^3=1`
`<=>x^3+y^3+3xy(x+y)=1`
`<=>x^3+y^3+3xy=1`(do `x+y=1`)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 3 2021
Lời giải:
Đặt $xy=t$
Áp dụng BĐT AM_GM:
$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=3$. Như vậy $0\leq t\leq 3$
Ta có:
$P=(x^4+1)(y^4+1)=x^4y^4+x^4+y^4+1$
$=x^4y^4+(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+1$
$=x^4y^4+[(x+y)^2-2xy]^2-2x^2y^2+1$
$=x^4y^4+2x^2y^2-48xy+145$
$=t^4+2t^2-48t+145$
$=t(t^3+2t-48)+145$
Vì $0\leq t\leq 3$ nên $t(t^3+2t-48)\leq 0$
$\Rightarrow P\leq 145$
Vậy $P_{\max}=145$. Giá trị này đạt tại $(x,y)=(0,2\sqrt{3})$ và hoán vị.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 3 2023
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-4=a\\y-3=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2=5\)
\(Q=\sqrt{\left(a+5\right)^2+b^2}+\sqrt{\left(a+3\right)^2+\left(b+4\right)^2}\)
\(\Rightarrow Q\le\sqrt{2\left[\left(a+5\right)^2+b^2+\left(a+3\right)^2+\left(b+4\right)^2\right]}\) (Bunhiacopxki)
\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(a^2+8a+b^2+4b+25\right)}\)
\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(a^2+2.4a+b^2+2.2b+25\right)}\)
\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(a^2+2\left(a^2+4\right)+b^2+2\left(b^2+1\right)+25\right)}\)
\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(3a^2+3b^2+35\right)}\le\sqrt{4\left(3.5+35\right)}=10\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=4\end{matrix}\right.\)