Question

[Nguyễn Trường Lân]

Cho tam giác nhọn ABC (CB < CA), có tâm đường tròn nội tiếp I và đường tròn ngoại tiếp (O). AI cắt BC tại D và cắt (O) lần thứ hai tại E. Đường tròn đi qua A,I vàtiếpxúcvớiAC,cắt(O)lầnthứhaitạiF.BC vàEF cắtnhautạiđiểmK.
a) Chứng minh EI2 = EF · EK.
b) Gọi P là giao điểm của BI và DF. Chứng minh các điểm A,K,P thẳng hàng.

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Ta có ^EBI = 1/2(^ABC + ^BAC) = ^EIB => EI = EB  (1)

^EFB = 180⁰ - ^BAC/2 = ^EBK => \(\Delta\)EFB ~ \(\Delta\)EBK => EB² = EF.EK (2)

(1);(2) => EI² = EF.EK (đpcm).

b) Định nghĩa lại các điểm như sau: K' nằm trên tia đối tia BC sao cho CK' = CA, AK' giao IB tại P', EK' cắt lại (O) tại F'.

Ta dễ có ^CK'I = ^CAI = ^BAI => (A,I,B,K')_cyc 

=> ^AP'I = 180⁰ - ^P'AI - ^AIP' = 180⁰ - ^ABC/2 - 90⁰ - ^ACB/2 = ^BAC/2 = ^K'F'B

=> (K',P',F',B)_cyc => ^K'F'B = ^K'BP' = ^ABC/2 = ^K'AD (3)

Tương tự câu a ta có EF'.EK' = EI² = ED.EA => (A,K',F',D)_cyc => ^K'AD = 180⁰ - ^K'F'D (4)

(3);(4) => P',F',D thẳng hàng

Từ đây suy ra: DF'.DP' = DB.DK' = DI.DA => (A,I,P',F')_cyc 

Mà (AIP') tiếp xúc với AC vì ^IAC = ^IP'A = ^BAC/2 nên F' trùng với F, dẫn đến K' trùng K và P' trùng P

Vì A,K',P' thẳng hàng nên A,K,P thẳng hàng (đpcm).