cho a,b,c,d,e >0 có tổng =4.Tim GTNN cua P=((a+b+c+d)(a+b+c)(a+b))/abcde
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CN
1
TN
30 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A=5a+6b+7c+\frac{1}{a}+\frac{8}{b}+\frac{27}{c}\)
\(=4\left(a+b+c\right)+\left(\frac{1}{a}+a\right)+\left(\frac{8}{b}+2b\right)+\left(\frac{27}{c}+3c\right)\)
\(\ge4\cdot6+2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot a}+2\sqrt{\frac{8}{b}\cdot2b}+2\sqrt{\frac{27}{c}\cdot3c}\)
\(\ge24+2+2\cdot4+2\cdot9=52\)
Xảy ra khi \(\frac{1}{a}=a;\frac{8}{b}=2b;\frac{27}{c}=3c\Rightarrow a=1;b=2;c=3\)
PV
1
ML
11 tháng 7 2015
Áp dụng Côsi:
\(a^2+\left(\frac{19-\sqrt{37}}{12}\right)^2\ge2\sqrt{\left(\frac{19-\sqrt{37}}{12}\right)^2.a^2}=2.\frac{19-\sqrt{37}}{12}a\)
\(b^2+\left(\frac{19-\sqrt{37}}{12}\right)^2\ge2.\frac{19-\sqrt{37}}{12}b\)
\(c^3+\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^3+\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^3\ge3\sqrt[3]{\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^3\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^3.c^3}=3.\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^2c\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^3+2\left(\frac{19-\sqrt{37}}{12}\right)^2+2\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^3\ge2.\frac{19-\sqrt{37}}{12}a+2.\frac{19-\sqrt{37}}{12}b+3.\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^2c\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^3+2.\left(\frac{19-\sqrt{37}}{12}\right)^2+3.\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^3\ge\frac{19-\sqrt{37}}{6}\left(a+b+c\right)=\frac{19-\sqrt{37}}{2}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^3\ge\frac{19-\sqrt{37}}{2}-2.\left(\frac{19-\sqrt{37}}{12}\right)^2-2.\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^3\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=\frac{19-\sqrt{37}}{12};\text{ }c=\frac{\sqrt{37}-1}{6}\)
Vậy GTNN của biệu thức là .......
DV
4
PN
12 tháng 8 2016
Xét riêng lần lượt với các biểu thức \(R=\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}\) và
\(Q=\frac{b+c+d}{a}+\frac{a+c+d}{b}+\frac{a+b+d}{c}+\frac{a+b+c}{d},\) ta có:
\(\text{*) }\) Ta biến đổi biểu thức \(R\) bằng cách cộng mỗi biểu thức trong nó với \(1,\) cùng lúc đó, ta tạo được một nhân tử mới cho \(R\) để phục vụ việc chứng minh. Khi đó, \(R\) sẽ mang dạng mới sau:
\(R=\left(a+b+c+d\right)\left(\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+b+c}\right)-4\)
nên \(R=\frac{1}{3}.\left[3\left(a+b+c+d\right)\right]\left(\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+b+c}\right)-4\)
Đặt \(x=b+c+d;\) \(y=a+c+d;\) \(z=a+b+d;\) và \(t=a+b+c\)
Không quên đặt điều kiện cho các ẩn số vừa đặt, ta có:
\(\hept{\begin{cases}x,y,z,t>0\\x+y+z+t=3\left(a+b+c+d\right)\end{cases}}\)
Ta biểu diễn lại các biểu thức \(R\) theo các biến vừa mới nêu sau đây:
\(R=\frac{1}{3}\left(x+y+z+t\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)-4\)
Mặt khác, theo một kết quả quen thuộc được đúc kết từ bất đẳng thức \(Cauchy-Schwarz\) ta được:
\(\left(x+y+z+t\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\ge16\)
Và bằng phép chứng minh theo bất đẳng thức \(AM-GM\) cho \(4\) số dương, ta dễ dàng đi đến kết luận rằng bất đẳng thức ở trên là một bất đẳng thức luôn đúng với mọi \(x,y,z,t>0\)
Khi đó, \(R\ge\frac{16}{3}-4=\frac{4}{3}\)
\(\text{*) }\) Tương tự lập luận cho biểu thức \(Q,\) ta cũng có đánh giá khá thú vị cho nó, điển hình:
\(Q\ge12\)
Mà \(S=R+Q\ge\frac{4}{3}+12=5\frac{1}{3}\)
Cuối cùng, với \(a=b=c=d>0\) (thỏa mãn điều kiện) thì \(S=5\frac{1}{3}\) nên suy ra \(5\frac{1}{3}\) là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S\)
VL
0
12 tháng 12 2017
Đặt \(A=\frac{\left(a+b+c+d\right)\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}{abcde}\)
\(\Rightarrow16A=\frac{\left(a+b+c+d+e\right)^2\left(a+b+c+d\right)\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}{abcde}\)
Áp dụng AM-GM ta có:
\(\Rightarrow16A\ge\frac{4e\left(a+b+c+d\right)^2\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}{abcde}\)
\(\Rightarrow16A\ge\frac{4e.4d\left(a+b+c\right)^2\left(a+b\right)}{abcde}\)
\(\Rightarrow16A\ge\frac{4e.4d.4c\left(a+b\right)^2}{abcde}\)
\(\Rightarrow16A\ge\frac{4e.4d.4c.4ab}{abcde}\)
\(\Rightarrow A\ge16\)
Dấu "=" xảy ra khi đồng thời:
\(\text{a+b+c+d+e=4, a+b+c+d=e, a+b+c=d, a+b=c, a=b}\)
\(\Rightarrow e=2,d=1,c=\frac{1}{2},a=\frac{1}{4},b=\frac{1}{4}\)
Nhân P với 4. Do 4=a+b+c+d+e
Áp dụng \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
Nhân 16, xin lỗi mình nhầm