cho 2 so duong x,y va x+y=1. Tim GTNN cua
M=\(\left(\frac{x-1}{x}\right)^2+\left(\frac{y-1}{y}\right)^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CT
12 tháng 8 2019
P= 1-1/y^2-1/x^2+1/x^2y^2
ta cs: x+y=1
cs: xy=< (x+y)^2/4=1/4
=> 1/x^2y^2>=1/16
có: ...
12 tháng 8 2019
cố tử thần bí à :>
\(\frac{1}{4}=\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\ge\frac{\left(2\sqrt{xy}\right)^2}{4}=xy\)
\(P=\frac{1}{x^2y^2}-\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+1=\frac{1-\left(x^2+y^2\right)}{x^2y^2}+1=\frac{1-\left(x+y\right)^2}{x^2y^2}+\frac{2}{xy}+1\ge\frac{2}{\frac{1}{4}}+1=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
8 tháng 3 2018
Hình như đề sai rùi bạn ơi !
Phải sửa xy/x^2+y^2 thành x^2+y^2/xy hoặc cái gì khác
Vì xy/x^2+y^2 chỉ có GTLN chứ ko có GTNN đâu
Mk nói có gì sai thì thông cảm nha !
28 tháng 1 2016
Đặt \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+x+y}=a\) ( ĐK a > 0 )
=> A = a + 1/a
(*) \(\left(x+y+1\right)^2\ge3\left(xy+x+y\right)\)( Nhân 2 vế với hai sau đưa về hằng đẳng thức )
=> \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+x+y}\ge3\Leftrightarrow a\ge3\)
TA có \(A=a+\frac{1}{a}=\frac{a}{9}+\frac{1}{a}+\frac{8a}{9}\ge2\sqrt{\frac{a}{9}\cdot\frac{1}{a}}+\frac{8\cdot3}{9}=\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)
Vậy GTNN của A là 10/3 tại x = y= 1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 5 2020
Cần điều kiện x;y dương
\(M=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(M\ge\frac{1}{2}\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2=\frac{25}{2}\)
\(M_{min}=\frac{25}{2}\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
28 tháng 4 2020
Ta có \(\frac{1}{P}=\frac{\left(x+yz\right)\left(y+zx\right)\left(z+xy\right)^2}{x^3y^3}=\frac{x+yz}{y}\cdot\frac{y+zx}{x}\cdot\frac{\left(z+xy\right)^2}{x^2y^2}\)
\(=\left(\frac{x}{y}+z\right)\left(\frac{y}{x}+z\right)\left(\frac{z}{xy}+1\right)^2=\left[1+\left(\frac{x}{y}+\frac{x}{y}\right)z+x^2\right]\left(\frac{z}{xy}+1\right)^2\ge\left(1+2x+x^2\right)\)\(\left[\frac{4x}{\left(x+y\right)^2}+1\right]^2\)\(=\left(z+1\right)^2\left[\frac{4z}{\left(z-1\right)^2}+1\right]^2=\left[\frac{4z\left(z+1\right)}{\left(z-1\right)^2}+1\right]^2=\left[6+\frac{12}{z-1}+\frac{8}{\left(z-1\right)^2}+z-1\right]^2\)
\(=\left[6+\frac{12}{z-1}+\frac{3\left(z-1\right)}{4}+\frac{8}{\left(z-1\right)^2}+\frac{z-1}{8}+\frac{z-1}{8}\right]\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
\(\frac{1}{P}\ge\left[6+2\sqrt{\frac{12}{z-1}\cdot\frac{3\left(z-1\right)}{3}}+3\sqrt[3]{\frac{8}{\left(z-1\right)^2}\cdot\frac{z-1}{8}\cdot\frac{z-1}{8}}\right]^2=\frac{729}{4}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{4}{729}\). dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=y=2\\z=5\end{cases}}\)