Question

[ɱ√ρ︵ʙᴇsт➻❥ɴᴀκᴀʀoтн★彡]

Cho \(a;b;c>0\) và \(a+b+c=6\)

Tìm GTNN của \(A=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)

Giúp gấp, mai cần rồi

Answer 1

[vũ tiền châu]

ta có A=\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ca}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)

ta có \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+...=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{\frac{2}{3}}{2ab}+...\ge\frac{\left(1+3.\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=....\)

đến đây thì dễ rồi, cái kia cũng svacxơ và chú ý ab+bc+ca<=(a+b+c)^2/3

Answer 2

[vũ tiền châu]

mượn chỗ nhok chút!

Áp dụng bđt bu nhi a, ta có 

\(\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\)

mà \(\sqrt{2\left(x-y\right)^2+10x-6y+8}=\sqrt{2\left(x^2-2xy+y^2+5x-3y+4\right)}\)

=\(\sqrt{2\left(x-y+2\right)^2+2\left(x+y\right)}\ge\sqrt{2\left(x+y\right)}\)

=>VT<=VP

dấu = xảy ra <=> y=x+2

với x=y-2, thay vào A, ta có 

A=\(x^4+\left(x+2\right)^2-5\left(x+x+2\right)+2020=x^4+x^2+4x+4-10x-10+2020\)

=\(x^4+x^2-6x+2014=x^4-2x^2+1+3\left(x^2-2x+1\right)+2010\)

=\(\left(x^2-1\right)^2+3\left(x-1\right)^2+2010\ge2010\)

dấu = xảy ra <=> x=1 và y=3