Question

[Đinh Đức Hùng]

Cho a;b là số 2 nguyên và \(a^2+b^2\) chia hết cho \(1+ab\) . Chứng minh \(A=\frac{a^2+b^2}{1+ab}\) là số chính phương

Answer 1

[luyen hong dung]

Đặt \(k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}\)\(\left(k\inℤ\right)\)

Giả sử k không là số chính phương 

Cố định số nguyên dương k,sẽ tồn tại cặp (a,b) . Ta kí hiệu 

\(S=\left(\left(a,b\right)\in N\times N|\frac{a^2+b^2}{ab+1}=k\right)\)

Theo nguyên lí cực hạn thì các cặp thuộc S tồn tại (a,b) sao cho a+b đạt min

Giả sử \(a\ge b>0\)cố định b ta còn số nữa khác a theo phương trình \(k=\frac{x+b^2}{xb+1}\)

\(\Leftrightarrow x^2-kbx+b^2-k=0\)phương trình có nghiệm a

Theo \(VIET:\hept{\begin{cases}a+x_2=kb\\a.x_2=b^2-k\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x_2=kb-a=\frac{b^2-k}{a}\)

Dễ thấy x₂ nguyên

Nếu x₂<0 thì \(x_2^2-kbx_2+b^2-k\ge x^2_2+k+b^2-k>0\)(vô lí)   \(\Rightarrow x_2\ge0\)do đó \(\left(x_2,b\right)\in S\)

Do \(a\ge b>0\Rightarrow x_2=\frac{b^2-k}{a}< \frac{a^2-k}{a}< a\)

\(\Rightarrow x_2+b< a+b\)(trái với a+b đạt min)

=> k là số chính phương (đpcm)

Xong rồi đấy,bạn tinck cho mình với nhé