Question

[Pham Trong Bach]

Tìm số phức z, biết:

a)  z  = z 3 ;

b) |z| + z = 3 + 4i.

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

a) Ta có z. z  = z 2  nên từ  z  = z 3  ⇒  z 2  = z 4

Đặt z = a+ bi , suy ra:

a 4  + b 4  − 6 a 2 b 2  + 4ab( a 2  − b 2 )i =  a 2  +  b 2  (∗)

Do đó, ta có: 4ab( a 2  −  b 2 ) = 0 (∗∗)

Từ (∗∗) suy ra các trường hợp sau:

     +) a = b = 0 ⇒ z = 0

     +) a = 0, b ≠ 0: Thay vào (∗), ta có b 4  =  b 2  ⇒ b = 1 hoặc b = -1 ⇒ z = i hoặc z = -1

     +) b = 0, a ≠ 0: Tương tự, ta có a = 1 hoặc a = -1 ⇒ z = 1 hoặc z = -1

   +) a ≠ 0, b ≠ 0 ⇒  a 2  −  b 2  = 0⇒  a 2  =  b 2 , thay vào (∗) , ta có:

2 a 2 (2 a 2  + 1) = 0, không có a nào thỏa mãn (vì a ≠ 0 )

b) Đặt z = a + bi. Từ |z| + z = 3 + 4i suy ra

⇒  a 2  + 16 = ( 3 - a ) 2  = 9 − 6a +  a 2

⇒ 6a = −7 ⇒ a = −7/6

Vậy z = −7/6 + 4i