Question

[Khiêm Nguyễn Gia]

Cho \(U_0=2;U_1=3;U_{n+1}=3U_n-2U_{n-1}\left(n\inℕ^∗\right)\).
\(a\)) Hoàn thành bảng sau: 

\(n\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)
\(U_n\)

\(b\)) Chứng minh \(U_{2n}+U_{n+1}-1\) là số chính phương.

Answer 1

[Lê Song Phương]

a)

\(n\)	2	3	4	5	6	7	8	9	10
\(U_n\)	5	9	17	33	65	129	257	513	1025

b)

Một cách tiếp cận là ta sẽ lập công thức tổng quát của dãy \(U_n\):

Ta có \(U_{n+2}=3U_{n+1}-2U_n\)

\(\Leftrightarrow\) \(U_{n+2}-2U_{n+1}=U_{n+1}-2U_n\)

\(\Rightarrow U_{n+2}-2U_{n+1}=U_{n+1}-2U_n=U_n-2U_{n-1}=...=U_1-2U_0=-1\)

Vậy \(U_{n+2}-2U_{n+1}=-1\) hay \(U_{n+1}=2U_n-1\)

\(\Leftrightarrow U_{n+1}-1=2\left(U_n-1\right)\) 

\(\Rightarrow U_n-1=2\left(U_{n-1}-1\right)=4\left(U_{n-2}-1\right)=...=2^n\left(U_0-1\right)=2^n\)

\(\Rightarrow U_n=2^n+1\)

Do đó \(U_{2n}+U_{n+1}-1\)

 \(=2^{2n}+1+2^{n+1}+1-1\)

 \(=\left(2^n\right)^2+2.2^n+1\)

 \(=\left(2^n+1\right)^2\) là số chính phương với mọi \(n\)

Ta có đpcm.