Question

[trang ta]

Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE=R/2. Từ E vẽ tiếp tuyến EM của đường tròn (O) với M là tiếp điểm; tiếp tuyến tại A và tại B của (O) cắt đường thẳng EM tại C và D

a) Chứng minh: Tam giác AMB vuông và AC+BD=CD

b) OC cắt AM tại H và OD cắt MB tại K. Chứng minh: tứ giác MHOK là hình chữ nhật

c) Chứng minh: MA.OD=MB.OC

d) Tính diện tích hình thang ABDC theo R

Answer 1

[Nguyễn Huy Tú]

a, Ta có : CM = CA ( tc tiếp tuyến cắt nhau ) 

DM = DB ( tc tiếp tuyến cắt nhau ) 

=> CM + DM = AC + DB <=> DC = AC + BD 

b, Vì CM = CA ( cmt ) 

OM = OA = R 

=> OC là đường trung trực đoạn MA

=> OC vuông AM => ^MHO = 90⁰(1) 

Vì OM = OB ( tc tiếp tuyến cắt nhau ) 

OM = OB = R 

=> OD là đường trung trực đoạn mb 

=> OD vuông MB => ^MKO = 90⁰(2) 

^AMB = 90⁰ ( điểm thuộc đường tròn nhìn đường kính ) (3) 

Xét tứ giác MHOK có (1) ; (2) ; (3) 

Vậy tứ giác MHOK là hình chữ nhật 

c, Xét tứ giác OMBD có ^OMD + ^OBD = 180⁰ 

mà 2 góc này đối 

Vậy tứ giác OMBD là tứ giác nt 1 đường tròn 

=> ^MDO = ^MBO ( góc nt chắn cung MO ) 

Vì tứ giác MHOK là hcn => ^COD = 90⁰ 

Xét tam giác MAB và tam giác OCD ta có : 

^AMB = ^COD = 90⁰ 

^MBA = ^CDO ( cmt ) 

Vậy tam giác MAB ~ tam giác OCD ( g.g ) 

=> \(\frac{MA}{OC}=\frac{MB}{OD}\Rightarrow MA.OD=MB.OC\)