Question

[Nya arigatou~]

Cho (O;R) đường kính BC. Lấy A trên (O) sao cho AB = R

a) Tính số đo góc A;B;C và cạnh AC của tam giác ABC theo R

b) Đường cao AH của tam giác ABC cắt (O) tại D. Chứng minh BC là đường trung trực của AD và tam giác ADC đều

c) Tiếp tuyến tại D của (O) cắt đường thẳng BC tại E. Chứng minh EA là tiếp tuyến của (O)

d) Chứng minh: EB.CH=BH.EC

Answer 1

[Trần Trung Nguyên]

a) Xét tam giác ABO có:AB=AO=BO=R

⇒△ABO đều⇒\(\widehat{ABC}=60^0\)

Góc BAC nội tiếp chắn nửa đường tròn nên bằng 90 độ⇒\(\widehat{ACB}=30^0\)

Ta có: AB=R;BC=2R⇒AC=\(\sqrt{4R^2-R^2}=R.\sqrt{3}\)

b) Xét (O) có: BC là đường kính vuông góc với dây AD⇒BC vuông góc với AD tại trung điểm H của AD⇒BC là trung trực của AD

Xét △ADC có CH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến⇒△ADC cân tại C

Mà \(\widehat{CAD}=60^0\)

Suy ra △ADC đều

c) Chứng minh tứ giác ACDE là hình thoi⇒DC//AE

Mà OA vuông góc với DC do△ADC đều⇒OA⊥OE⇒AE là tiếp tuyến của (O)

d) Ta có: BE=R;CH=\(\dfrac{3R}{2}\);BH=\(\dfrac{R}{2}\);EC=3R

Vậy EB.CH=\(\dfrac{R.3R}{2}=\dfrac{3R^2}{2}\)

BH.CE=\(\dfrac{3R.R}{2}=\dfrac{3R^2}{2}\)

Vậy \(EB.CH=BH.EC\)