Question

[Nguyễn Thị Thu Hiền]

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ đường tròn tâm I đường kính OA

a/Chứng minh hai đường tròn (O) và (I) tiếp xúc

b/Dây AC của (O) cắt đường tròn tâm I tại D. Chứng minh ID//OC

c/Cho biết AC=R\(\sqrt{3}\). Tính theo R diện tích tứ giác ODCB

Answer 1

[Lê Diêu]

(tự vẽ hình)

a) Đường tròn tâm I đường kính OA có bán kính r=IA

Ta có khoảng cách tâm của hai đường tròn: OI=OA-IA=R-r

=> Hai đường tròn (O,R) và (I,r) tiếp xúc trong tại A.

b) Tam giác ACB nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB nên vuông tại C.

Tam giác ADO nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AO nên vuông tại D.

=> BC//OD (cùng ⊥ AC)

=> \(\frac{AD}{AO}=\frac{DC}{OB}\)

mà AO=OB (bán kính) => AD=DC (1)

Ta lại có AI=IO (bán kính) (2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{AD}{AI}=\frac{DC}{IO}\)

=> ID//OD (t/c các đoạn thẳng tỉ lệ)

c) Tam giác ABC vuông tại C, ta có:

BC²=AB²-AC²=(2R)²-(R\(\sqrt{3}\))²=R²

=> BC=R

S_ΔABC=\(\frac{AC.BC}{2}=\frac{R\sqrt{3}.R}{2}=\frac{R^2\sqrt{3}}{2}\)

ΔAOD∼ΔABC (do OD//BC) theo tỉ lệ k=\(\frac{AO}{AB}=\frac{1}{2}\)

=> S_ΔAOD=k².S_ΔABC=\(\left(\frac{1}{2}\right)^2.\frac{R^2\sqrt{3}}{2}=\frac{R^2\sqrt{3}}{8}\)

S_ODCB=S_ΔABC-S_ΔAOD=\(\frac{R^2\sqrt{3}}{2}-\frac{R^2\sqrt{3}}{8}=\frac{3R^2\sqrt{3}}{8}\)