bàu 1
\(A=\frac{2z}{z^2-4};B=\frac{2z^3+4z}{z^4-8z^2+16}\)
a)tính A khi z =1
b)Đặt M=A:B. Rút gọn M
c) So sánh M với (-2)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(\frac{2z-4}{z^2-4}=\frac{2\left(z-2\right)}{z^2-2^2}=\frac{2\left(z-2\right)}{\left(z-2\right)\left(z+2\right)}=\frac{2}{z+2}\)
b) \(\frac{2z+10}{50-2z^2}=\frac{2\left(z+5\right)}{2\left(25-z^2\right)}=\frac{2\left(5+z\right)}{2\left(5-z\right)\left(5+z\right)}=\frac{1}{5-z}\)
c) \(\frac{2z^2-8}{z^3-8}=\frac{2\left(z^2-4\right)}{z^3-2^3}=\frac{2\left(z^2-2^2\right)}{\left(z-2\right)\left(z^2+2z+2^2\right)}=\frac{2\left(z-2\right)\left(z+2\right)}{\left(z-2\right)\left(z^2+2z+4\right)}=\frac{2\left(z+2\right)}{z^2+2z+4}=\frac{2\left(z+2\right)}{z^2+2\left(z+2\right)}=\frac{1}{z^2}\)
\(M=5\left(x+y+z\right)^2+\left(x^2+y^2+z^2\right)+2.\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:
\(M\ge5.\left(\frac{3}{4}\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+2.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=5.\frac{9}{16}+\frac{\frac{9}{16}}{3}+2.\frac{9}{\frac{4.3}{4}}=9\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1/4 ( cái này bạn tự giải rõ nhé)
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x;y;\frac{1}{z}\right)\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2=3\)
\(P=\frac{1}{a^4+b^4+c^4}\)
Ta có:
\(a^4+b^4+b^4+1\ge4ab^2\)
\(b^4+c^4+c^4+1\ge4bc^2\)
\(c^4+a^4+a^4+1\ge4ca^2\)
\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)+3\ge4\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)=12\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge3\)
\(\Rightarrow P\le1\)
Điều kiện: x , y và z \(\ne0\)
Từ (1), suy ra \(\frac{1}{xy}=2-\frac{1}{yz}-\frac{1}{z}\)
Thay vào 2 . Ta được:
\(\frac{2}{yz}\left(2-\frac{1}{yz}-\frac{1}{z}\right)-\frac{1}{z^2}=4\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{yz}+\frac{1}{z}\right)^2+\left(\frac{1}{yz}-2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y+1=0\\yz=\frac{1}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\left(-1\right)\\z=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Kết hợp với (1), ta được nghiệm của hệ đã cho là:
\(\left(x;y;z\right)=\left(-\frac{1}{2};-1;-\frac{1}{2}\right)\)
P/s: Đáng nhẽ mình không giải bài này đâu vì nếu giải bác Thắng nói mình này nọ! Nhưng vì không thấy ai giải nên cũng giải thử xem sao vậy!
Ta có:
\(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\) (1)
Hiển nhiên suy ra được BĐT Am-Gm
Áp dụng (1) ta được:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y};\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{4}{y+z};\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\ge\frac{4}{z+x}\)
Cộng các vế BĐT ta được
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\) (2)
Tương tự như vậy ta có:
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}\ge2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\) (3)
Áp dụng (2) và (3) ta được:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge4\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)
Vậy Max A = 1
a/ ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}z\ne0\\z\ne4,-4\end{matrix}\right.\)
Thay \(z=1\) vào biểu thức A ta có :
\(A=\frac{2.1}{1^2-4}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}\)
Vậy....
b/ Ta có :
\(B=\frac{2z^3+4z}{z^4-8z^2+16}\)
\(=\frac{2z\left(z+2\right)}{\left(z^2-4\right)^2}\)
\(=\frac{2z\left(z+2\right)}{\left(z-2\right)^2\left(z+2\right)^2}\)
\(=\frac{2z}{\left(z-2\right)^2\left(z+2\right)}\)
Lại có : \(M=A:B\)
\(\Leftrightarrow M=\frac{2z}{\left(z-2\right)\left(z+2\right)}:\frac{2z}{\left(z-2\right)^2\left(z+2\right)}\)
\(=\frac{2z}{\left(z-2\right)\left(z+2\right)}.\frac{\left(z-2\right)^2\left(z+2\right)}{2z}\)
\(=z-2\)
Vậy...