Question

[Lan Hương]

tìm GTNN của bt;

B=\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\) và a+b+c+d=1; a,b,c,d là số dương

Answer 1

[Trần Thanh Phương]

Áp dụng Cauchy-Schwarz :

\(B=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2\left(a+b+c+d\right)}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

\(B\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2\left(a+b+c+d\right)}=\frac{1}{2}\left(a+b+c+d\right)=\frac{1}{2}\)

\(B_{min}=\frac{1}{2}\) khi \(a=b=c=d=\frac{1}{4}\)

Hoặc là làm thế này cũng được:

\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{1}{4}\left(a+b\right)\ge a\)

Làm tương tự với 3 biểu thức còn lại và cộng vế với vế