Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(0;1;2), C(–2;1;4) và mặt phẳng(P): x – y + z + 2 = 0. Tìm điểm N $\in$(P) sao cho $S=2N{A}^2+N{B}^2+N{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A.  $N\left(-2;0;1\right)$

B.  $N\left(-\frac{4}{3};2;\frac{4}{3}\right)$

C.  $N\left(-\frac{1}{2};\frac{5}{4};\frac{3}{4}\right)$

D.  $N\left(-1;2;1\right)$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án D

Phương pháp giải: Xét đẳng thức vectơ, đưa về hình chiếu của điểm trên mặt phẳng

Lời giải:

Gọi M(a;b;c) thỏa mãn đẳng thức vectơ  2 M A   → + M B → + M C → = 0 →

Khi đó  S = 2 N A 2 + N B 2 + N C 2 =  2 N A 2 → + N B 2 → + N C 2 → = 2 M N → + M A → 2 + M N → + M B → 2 + M N → + M C → 2

=  4 M N 2 + 2 N M → 2 M A → + M B → + M C → + 2 M A 2 → + M B 2 → + M C 2 →

=  4 M N 2 + 2 M A 2 → + M B 2 → + M C 2 →

Suy ra S_min ó MN_min ó N là hình chiếu của M trên(P) => MN ⊥ (P)

Phương trình đường thẳng  MN là 

Mà m ∈ mp(P) suy ra t–(1–t)+t+2+2=0 ó t = –1 => N(–1;2;1)