Cho \(A\left(1;4\right);B\left(-1;5\right);C\left(-5;1\right)\)
a, Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn \(\left|\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|=2\)
b, Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)
c, Tìm tọa độ tâm đường tròn nôi tiếp \(\Delta ABC\)
@Nguyễn Việt Lâm
@Akai...
Đọc tiếp
Cho \(A\left(1;4\right);B\left(-1;5\right);C\left(-5;1\right)\)
a, Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn \(\left|\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|=2\)
b, Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)
c, Tìm tọa độ tâm đường tròn nôi tiếp \(\Delta ABC\)
@Nguyễn Việt Lâm
@Akai Haruma
a.
Gọi \(I\left(x;y\right)\) là điểm sao cho \(\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{IA}=\left(1-x;4-y\right)\\\overrightarrow{IB}=\left(-1-x;5-y\right)\\\overrightarrow{IC}=\left(-5-x;1-y\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\left(5x+15;5y-18\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=\frac{18}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(-3;\frac{18}{5}\right)\)
Khi đó ta có:
\(\left|\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|=2\)
\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{MI}-4\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{MI}-2\overrightarrow{IC}\right|=2\)
\(\Leftrightarrow\left|-5\overrightarrow{MI}\right|=2\)
\(\Leftrightarrow MI=\frac{2}{5}\)
Vậy tập hợp M là đường tròn tâm \(I\left(-3;\frac{18}{5}\right)\) bán kính \(R=\frac{2}{5}\)
b.
Gọi \(K\left(x;y\right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AK}=\left(x-1;y-4\right)\\\overrightarrow{BK}=\left(x+1;y-5\right)\\\overrightarrow{CK}=\left(x+5;y-1\right)\end{matrix}\right.\)
Do K là tâm đường tròn ngoại tiếp nên: \(\left\{{}\begin{matrix}AK=BK\\AK=CK\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AK^2=BK^2\\AK^2=CK^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2+\left(y-4\right)^2=\left(x+1\right)^2+\left(y-5\right)^2\\\left(x-1\right)^2+\left(y-4\right)^2=\left(x+5\right)^2+\left(y-1\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x-2y+9=0\\12x+6y+9=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\frac{3}{2}\\y=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(K\left(-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)\)