Question

[Pham Trong Bach]

Cho $0\le x;y\le 1$  thỏa mãn ${2017}^{1-x-y}=\frac{x^2+2018}{x^2-2y+2019}.$ Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $S=\left(4x^2+3y\right)\left(4y^2+3x\right)+25xy.$ Khi đó $M+m$bằng bao nhiêu?

A.  $\frac{136}{3}$

B.  $\frac{391}{16}$

C.  $\frac{383}{16}$

D.  $\frac{25}{2}$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án B

Từ giả thiết

2017 1 − y 2017 x = x 2 + 2018 1 − y 2 + 2018 ⇔ 2017 1 − y 1 − y 2 + 2018 = 2017 x x 2 + 2018   *  

Xét hàm số f t = 2017 t t 2 + 2018  với t ∈ 0 ; 1  

⇒ f ' t = 2017 t ln 2017 t 2 + 2018 + 2 t .2017 t > 0  

⇒ f t đồng biến trên 0 ; 1 .  Do đó (*)  ⇔ 1 − y = x ⇔ x + y = 1.

Ta có: 0 ≤ x y ≤ x + y 2 4 = 1 4 .  Đặt  m = x y ∈ 0 ; 1 4 . Khi đó :

S = 16 x 2 y 2 + 34 x y + 12 y + x y + x 2 − 3 x y = 16 m 2 − 2 m + 12 = g m  

Xét hàm g m  trên đoạn

0 ; 1 4 ⇒ g ' m = 32 m − 2 → g ' m = 0 ⇔ m = 1 16  

Lúc này

g 0 = 12 , g 1 4 = 25 2 , g 1 16 = 191 16 ⇒ M = 25 2 m = 191 16 ⇒ M + m = 391 16 .